洛谷P1029最大公约数和最小公倍数问题题解--zhengjun

题目描述

输入两个正整数 $x_0, y_0$，求出满足下列条件的 $P, Q$ 的个数：

1. $P,Q$ 是正整数。
2. 要求 $P, Q$ 以 $x_0$ 为最大公约数，以 $y_0$ 为最小公倍数。

试求：满足条件的所有可能的 $P, Q$ 的个数。

输入格式

一行两个正整数 $x_0, y_0$ 。

输出格式

一行一个数，表示求出满足条件的 $P, Q$ 的个数。

输入输出样例

输入 #1 复制

3 60

输出 #1 复制

4

说明/提示

$P,Q$ 有 $4$ 种：

1. $3,60$。
2. $15,12$。
3. $12,15$。
4. $60,3$。

对于 $100\%$ 的数据， $2 \le x_0, y_0 \le {10}^5$ 。

思路

题意应该很明确，就是找一对数，使它们的最小公约数是 $x_0$ ，最大公倍数是 $y_0$
然后，还有一点，就是小学数学（我已经初一了）里面的一个公式：

$x\times y=(\ x,y\ )\times [\ x,y\ ]$

意思就是，两个数的最大公约数和最小公倍数的积就是这两个数的积

可以这样来理解：

这样的话

$x\times y=$ $($ ① $\times$ ② $)$ $\times$ $($ ③ $\times$ ② $)$

$(\ n,m\ )\times [\ n,m\ ]=$ ② $\times$ $($ ① $\times$ ② $\times$ ③ $)$

这样就可以理解了，所以，只要枚举一个数，另一个数就可以算出来。

然后，求最大公约数还有一种很快的方法：辗转相除法

比如说求 $391$ 和 $527$ 的最大公约数：
$\ \ \ \ \ |391\ \ \ 527|$
$\underline{\ \ 0\ |0\ \ \ \ \ \ \ 391|\ 1\ }$
$\ \ \ \ \ |391\ \ \ 136|$
$\underline{\ \ 2\ |272\ \ \ 119|\ 1\ }$
$\ \ \ \ \ |119\ \ \ \ 17|$
$\underline{\ \ 7\ |119\ \ \ \ \ \ \ \ |\ \ \ \ }$
$\ \ \ \ \ |0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |$

这样除到 $0$ 为止

证明：

假设 $x$ , $y$ 的最大公约数就是 $k$

则 $k|x\ mod\ y$，问题就转换成了求 $y$ 和 $x\ mod\ y$ 的最大公约数

以此类推，无论怎么模，余数始终是 $k$ 的倍数，这样一步步算下来，最后当余数为 $0$ 时， $x$ 就是这两个数的最大公约数

这样，所有问题就都解决了

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m,n,ans;
int zj(int x,int y)//不要在意这个函数名
{
	int z;
    while(y!=0){//辗转相除法
    	z=x%y;
    	x=y;
    	y=z;
	}
	return x;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(register int i=n;i<=m;i++)//因为P,Q一定比最大公约数大，比最小公倍数小
        if(n*m%i==0&&zj(i,n*m/i)==n)//符合要求
		    ans++;
    cout<<ans;
    return 0;
}

谢谢–zhengjun