中心差分法を使用して 1 次波動方程式を解きます (Matlab コードを使用)

$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2u} {\部分 x^2}=0,0<x<1,t>0,$
初期境界値条件は次のとおりです:
$u\left(0,x\right)=2sin\left(\pi x\right)、$
$u_t\left(0,x\right)=0,0<x<1,$
$u\left(t,0\right)=u\left(t,1\right)=0,t\geq0。$
精解： $u=sin\left(\pi\left(xt\right)\right)+sin\left( \pi\left(x+t\right)\right)。$
(1) τ $\tau を$ $取る$ $τ$ =0.05,h=0.1 t = 0.5,1.0,1.5,2.0の解を計算します。
(2) $\tau$ =h=0.1、t = 0.5,1.0,1.5,2.0の解を計算します。

ほどく：

(1) 問題分析

ステップ 1: メッシュ作成

時間ステップ $\tau=\frac{T}{N} を計算します。$ および空間ステップサイズ $h=\frac{l}{J}$ 、長方形領域に注意してください $\let t \le T, 0 \le x \le l}$ 。平行な直線の 2 つのファミリーを使用して、この領域 G を長方形のグリッドに分割します。グリッドノードは座標点 $\left(t_n,x_j\right)$ という意味です。 $G_h$ グリッド内の点のセットを表します。 $\Gamma_h=G/G_h=G-G_h$ 境界点のセットを表します。 $u\left(t_n,x_j\right) を$ 使用します。 $あなた (t 、バツ)$ 真の解を表します、 $u_j^n$ $\left(t_n,x_j\right)$ で表されます。 $(t 、バツ）$ はおおよその値です。ネットワーク比 $r^2=\frac{\tau^2}{h^2} を$ 。

ステップ 2: 差分方程式、中心差分形式

$u_j^{n+1}-2u_j^n+u_j^{n-1}=r^2 \left(u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n\right)$
$\Rightarrow u_j^{n+1}=r^2\left (u_{j-1}^n+u_{j+1}^n\right)+2\left(1-r^2\right)u_j^n-u_j^{n-1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$
による初值实作得： $u_j^0=sin\left(\pi x_j\right),\frac{u_j^ 1 -u_j^{-1}}{2\タウ}=0。$
(1)式中令n=0、得られる: $u_j ^1=r^2\left(u_{j-1}^0+u_{j+1}^0\right)+2\left(1-r^2\right)u_j^0-u_j^{- 1}、消去u_j^{-1}$ ，得:
$。u_j^1=r^2\left(sin\left(\pi x_{j-1}\right)+sin\left(\pi x_{j+1}\right)\right)+\left(1- r^2\right)sin\left(\pi x_j\right)。$
令 ${\ U}^n=\left(u_1^n,u_2^n,\cdots,u_{J-1 }^n\right)^T、$ $A=\left[\begin{matrix}2\left(1-r^2\right)&r^2&0&\cdots&0&0&0\\r ^2&2\left(1-r^2\right)&r^2&\cdots&0&0&0\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&0\\0&0&0&\cdots&r^2&2\left(1-r^2\right) &r^2\\0&0&0&\cdots&0&r^2&2\left(1-r^2\right)\\\end{行列}\right]$ は $J - 1 \times J - 1$ の单位ベクトル阵、特に、 $。{\ U}^0=\left(2sin\left(\pi x_1\right),2sin\left(\pi x_2\right),\cdots,2sin\left(\pi x_{J-1}\right) \right)^T,{\ U}^1=\left(u_1^1,u_2^1,\cdots,u_{J-1}^1\right)^T。$

(2) コンピュータプログラム

function [U1,E]=shuangqv(J,N)
x0=0;xJ=1;h=(xJ-x0)/J;x=[x0:h:xJ]';
t0=0;tN=2;tau=(tN-t0)/N;t=[t0:tau:tN]';
r=tau^2/h^2;
u(:,1)=2*sin(pi*x(2:J,1));
for j=1:J-1
    u(j,2)=r*(sin(pi*x(j))+sin(pi*x(j+2)))+(1-r)*2*sin(pi*x(j+1));
end
U(:,1)=[u(:,2);u(:,1)];
A=diag(ones(1,J-1))*(2-2*r)+(diag(ones(1,J-2),1)+diag(ones(1,J-2),-1))*r;
E=diag(ones(1,J-1));
B=[A,-E;E,zeros(J-1,J-1)];
for n=2:N+1
    U(:,n)=B*U(:,n-1);
end
U1=U(J:2*(J-1),:);
U1=[zeros(1,N+1);U1;zeros(1,N+1)];
for j=1:J+1
    for n=1:N+1
        V(j,n)=sin(pi*(x(j)-t(n)))+sin(pi*(x(j)+t(n)));
    end
end
E=max(max(abs(U1-V)));
end
 %调试
clear all;clc;close  all;
[U1,E1]=shuangqv(10,40);
[U2,E2]=shuangqv(10,20);

(3) 質問結果

ここに画像の説明を挿入します ( $\年$ =h=0.1 の場合、解析解と数値解の画像)
この画像から、解析解と数値解の画像は非常に一致していることがわかります。次に、2 つの場合の最大誤差を調べます。

	最大誤差
$\年$ =0.05、h=0.1	0.029747384249724
$\年$ =0.1、h=0.1	1.665334536937735e-15

( $\年$ =0.05、h=0.1の場合の対応する時間に対応する数値解
ここに画像の説明を挿入します
( $\tau$ =0.1,h=0.1の場合の対応する時間に対応する数値解