1: ズーム
各頂点の座標が (x, y) であると仮定して、x 方向に sx 倍、y 方向に sy 倍のスケールを要求すると、
変換後の座標は次のようになります: (x' = sx*x) (y ' = sy *y )
2:パン
同様に、物体を空間内で平行移動させたい場合、x方向の変位をtx、y方向の変位をtyとすると、変形後の座標は右の式で表すことができます。
3: 他の変換と組み合わせた同次行列への平行移動変換
行列の乗算は、対応する要素を掛け算して加算する計算であるため、
変換を直接行列の形式に書き直す方法はありません。
式を比較すると、定数項が欠落していることがわかります
。 2 次元座標 (x, y) を 3 次元ベクトルで表し
、3 番目の次元を 1 に設定し
、3x3 行列を使用して変換を行い
、行列の 3 列目に平行移動量を書き込みます
。先ほど述べた変換式とまったく同じように展開されます
。ベクトルに別の次元を追加する手法は同次座標とも呼ばれます。
このようにして、3x3 行列を使用して 2 次元空間での変換 (変換/スケーリング) を表すことができます。 /rotation).
対応する 3 次元空間変換は、4x4 行列で表すことができます。
4: 回転
原点からの距離が r、原点とのなす角度が α である頂点 (x, y) を回転させたいとします
。三角関数によれば、x は r * cosα、y は r * sinα と書くことができます。
原点を逆にたどり、頂点 θ の角度を時計回りに回転すると、回転した座標は、三角関数の加法定理によって
同様に x'=cos(α+θ)、y'=sin(α+θ) と書くことができます。(α+θ)はcosαcosθ-sinasinθに展開され、sin(α+θ)はsinαcosθ+cosαsinθに展開されます最後に先ほどの式に持ち込んでいきます回転させた座標x',y'は和で表すことができます回転前の座標と三角関数の積この式はさらに簡略化して、次の行列形式の図で使用される次の三角関数の証明リンクにできます。
5: 行列の乗算は結合的です
