1.PID制御

導入

プロセス制御は、安全で効率的なプラントを設計するために必要です。プロセスを操作するにはさまざまなプロセス制御が使用されますが、最も単純で、多くの場合最も効果的なのはPID コントローラーです。コントローラーは、差を計算することで測定変数と望ましい設定値の間の誤差を修正しようとし、それに応じてプロセスを調整するための修正アクションを実行します。PID コントローラーは、比例 (P)、積分 (I)、微分 (D) の 3 つのパラメーターを通じてプロセスを制御します。これらのパラメータは重み付けまたは調整して、プロセスへの影響を調整できます。

PID コントローラーは一般的なオン/オフコントローラーよりも実用的であり、システムの調整を向上させることができます。これは事実ですが、オン/オフコントローラーを使用することには、(1) 設計と実装が比較的簡単であること、(2) バイナリセンサーとアクチュエーター (オン/オフコントローラーのような) は一般に信頼性が高く、安価です。

いくつかの利点があるにもかかわらず、オン/オフコントローラースキームの使用には重大な欠点があります。それらは、(1) 非効率的です (この制御を使用すると、フルスロットルで完全に休息して運転するようなものです)、(2) 安定性を求めると騒音が発生します (設定値を大幅に上回るか下回る可能性があります)、(3) バルブやバルブの物理的な磨耗、スイッチ（バルブ/スイッチを連続的に開閉すると、消耗が早くなります）。

より適切な制御と微調整を行うために、ほとんどの産業プロセスでは PID コントローラー方式が使用されています。このセクションでは、PID コントローラーと、Excel で制御システムをモデル化する方法について簡単に紹介します。

プロセスゲイン( $K$ ) は、入力変数 (強制関数) の変化に対する出力変数 (応答変数) の変化の比率です。これは、入力変数の特定の変化に対する出力変数の感度を具体的に定義します。

$K=\frac{\Delta \text { 出力 }}{\Delta \text {input}} \nonumber$

ゲインは、プロセスのダイナミクスに関する知識がなく、設計変数や操作変数から独立した定常状態パラメーターとしてのみ説明できます。ゲインには、符号、値、単位を含む 3 つのコンポーネントがあります。この記号は、出力がプロセス入力にどのように応答するかを示します。正の符号は、入力変数の増加に伴って出力変数が増加することを意味し、負の符号は、入力変数の増加に伴って出力変数が減少することを意味します。単位は考慮するプロセスによって異なり、プロセスは言及された変数によって異なります。

たとえば、圧力は 21 psi から 29 psi に増加します。この変更により、バルブ位置が 30% vp から 22% vp に変わります。

$\dfrac{(29-21)\,psi}{(22-30)\%vp} = - 1.0\,psi/(\%vp) \nonumber$

デッドタイム( $t_0$ ) は、入力変数の変化と出力変数の開始時刻の間の値です。デッドタイムは制御システムの制御性に影響を与えるため重要です。このパラメータにより、設定値の変更はすぐには行われません。チューニングとモデリングの際には、デッドタイムを考慮する必要があります。

制御タイプ

プロセス制御は、温度、レベル、圧力などのパラメータを制御するために使用される機器です。PID コントローラーは、フィードフォワードまたはフィードバック条件を確認しながら、コントローラーのオン/オフに対して出力を継続的に調整するため、連続コントローラーの一種です。温度調節器の例を図9.2.1に示します。

コントローラー2.jpg 図 9.2.1: 連続反応器の温度コントローラー

図 1 に示すように、温度コントローラーは CSTR (連続撹拌タンク反応器) 内の流体の温度を制御します。温度センサーはまず流体の温度を測定します。この測定により、測定信号が生成されます。次に、測定された信号がコントローラーの設定値または希望の温度設定と比較されます。測定された信号と設定値の差が誤差です。このエラーに基づいて、コントローラーは加熱コイルに作動信号を送信し、それに応じて温度を調整します。このタイプのプロセス制御は、駆動信号が実際の設定と望ましい設定の間の誤差によって決定されるため、誤差ベースの制御として知られています。さまざまな種類のエラーベース制御は、エラーを駆動信号に変換する数学的方法が異なります。最も一般的なのは PID コントローラーです。また、P、I、D 制御を検討する前に、フィードフォワード制御とフィードバック制御を理解することが重要です。

I， D， PI， PD， PID 控制

前述したように、コントローラーの入力 (エラー) をコントローラーの出力 (駆動信号) に関連付ける方法はコントローラーによって異なります。最も一般的に使用されるコントローラーは、比例積分微分 (PID) コントローラーです。PID コントローラーは、比例 (P)、積分 (I)、または微分 (D) 方式で誤差を駆動信号に関連付けます。PID コントローラーは、これらの制御を組み合わせて使用して、エラーを駆動信号に関連付けることもできます。

比例§制御

PID コントローラーで使用される動作の 1 つのタイプは比例制御です。比例制御はフィードバック制御の一種です。これは連続制御の最も単純な形式であり、閉ループシステムで使用できます。P のみ制御はプロセス変数の変動を最小限に抑えますが、システムを常に望ましい設定値に導くとは限りません。他のほとんどのコントローラーよりも速い応答が得られ、最初は P 専用コントローラーの方が数秒速くなりました。ただし、システムがより複雑になると (つまり、アルゴリズムがより複雑になると)、応答時間の差が蓄積し、P コントローラーの応答が数分も速くなる可能性があります。P 専用コントローラーには応答時間が速いという利点がありますが、設定値からの偏差が生じます。この偏差はオフセットと呼ばれます。オフセットの存在は、システムが定常状態で望ましい設定値を維持できないことを意味します。これは、線が原点を通過するのを妨げるために常に一定の誤差が存在する、検量線の系統誤差に似ています。オフセットは、P のみの制御と I または D 制御などの別の形式の制御を組み合わせることによって最小限に抑えることができます。ただし、すべての式に暗黙的に含まれるオフセットを完全に削除することはできないことに注意することが重要です。

P 制御は、コントローラー出力 (駆動信号) を誤差 (測定信号と設定値の差) に線形に関連付けます。この P 制御の動作は、数式で数学的に説明されます。

$c(t) = K_ce(t) + b………… 9.2.1$

の

c(t) = コントローラー出力
$K_c$ = コントローラーゲイン
e(t) = 誤差
b = バイアス（

この式では、バイアス (b) とコントローラーゲイン $K_c$ は各コントローラーに固有の定数です。誤差がゼロの場合、バイアスは単なるコントローラー出力です。コントローラーのゲインは、コントローラーの入力が変化するたびにコントローラー出力が変化することです。PID コントローラーでは、信号は通常電子的に送信され、コントローラーのゲインは出力電圧の変化を入力電圧の変化に関連付けます。これらの電圧変化は、変化する特性 (温度、圧力、液面など) に直接関係します。したがって、ゲインは最終的に入出力特性の変化に関係します。出力が入力よりも大きく変化する場合、Kc は1 より大きくなります。入力の変化が出力の変化より大きい場合、Kc は1 未満になります。理想的には、 $K_cの場合、$ 無限大に等しい場合、誤差はゼロに減らすことができます。ただし、 $K_c$ 誤差がゼロということは測定信号が設定点と正確に等しいことを意味するため、この無限小の特性によりループの不安定性が増大します。講義でも述べたように、制御ロジックでは完全な同一性は決して達成されず、制御ロジックでは一定の範囲内での誤差のばらつきが許容されます。したがって、 $K_cについては、$ サイズにはシステムによって定義された制限があります。これらの変数がシステムに及ぼす影響を、古典的な手法による PID チューニングでグラフ表示します。

上の方程式から、P 制御のみがシステム誤差とシステムコントローラーの出力の間に線形関係を提供することがわかります。このタイプの制御は、振動が排除され、システムが定常状態に戻るようにシステムを調整する信号に基づいた応答を提供します。コントローラーへの入力は、セットポイント、信号、バイアスです。コントローラーは、誤差として知られる設定値と信号の差を計算し、この値をアルゴリズムに送信します。アルゴリズムはバイアスと組み合わせて、コントローラーがどのようなアクションを実行するかを決定します。時刻 t0 で入力ステップが増加するときの P コントローラー出力のグラフ表示を以下の図 2 に示します。この図はステップ入力図自体とまったく同じです。

続き.jpg 図 2. ステップ入力の P コントローラー出力。

この線形 P 制御関係を説明するために、タンク内の液面を制御する P のみの制御を考えてみましょう。初期状態では、タンクへの流入量とタンクからの流出量は等しくなります。ただし、タンクから流出する流量が減少すると、流出する液体よりも多くの液体が流入するため、タンク内の液体レベルは増加します。P のみの制御システムは、タンクからの流出流量を調整して、タンクへの流量が再び等しくなり、レベルが再び一定に保たれます。ただし、このレベルはタンク内の最初のレベルと等しくなりません。システムは定常状態にありますが、初期設定値とタンク内の現在の位置との間に差があります。この差が P 制御オフセットです。

積分（I）制御

PID コントローラーで使用されるもう 1 つの動作は積分制御です。積分制御はフィードバック制御の 2 番目の形式です。潜在的なバイアスを除去できるため、よく使用されます。したがって、システムは定常状態および元の設定に戻ります。負の誤差はシステムへの信号の減少をもたらし、正の誤差は信号の増加をもたらします。ただし、I のみのコントローラーは、より多くのパラメーターに依存するため、P のみのコントローラーよりも応答時間が大幅に遅くなります。システムにドリフトがあってはならない場合は、I 専用コントローラーを使用する必要がありますが、応答時間が遅くなります。この遅い応答時間は、I-only 制御と P または PD 制御などの別の形式を組み合わせることで短縮できます。I-only 制御は通常、測定変数を非常に狭い範囲内に保持する必要があり、微調整された制御が必要な場合に使用されます。I 制御は、蓄積された過去のエラーに応答してシステムに影響を与えます。積分制御の背後にある哲学は、偏差はその大きさの累積和に比例して影響を受けるということです。I コントロールをコントローラーに追加する主な利点は、オフセットがなくなることです。欠点は、コントローラーが不安定になり、積分ワインドアップが発生するため、コントローラーが変更を加えるのにかかる時間が増加することです。

I-control は、コントローラー出力を誤差積分に関連付けます。誤差の積分は時間に関するものです。これは、指定された期間に関連する合計誤差です。この I 制御の動作は、式 9.2.2 (Schek et al .) に数学的に示されています。

$c(t)=\frac{1}{T_{i}} \int e(t) d t+c\left(t_{0}\right) …………9.2.2$
ここで

c(t) はコントローラーの出力です
$T$ は積分時間です
e(t) はエラーです
c( $t_0$ ) は積分前のコントローラー出力です。

式 9.2.2 の積分時間は、コントローラーがその出力を誤差値に等しく変更するのにかかる時間です。積分前のコントローラー出力は、時間 t=0 での初期出力、または測定された前のステップでのコントローラー出力と等しくなります。これらの変数がシステムに及ぼす影響を、古典的な手法による PID チューニングでグラフ表示します。

I-only コントロールのコントローラー出力の変化率は、いくつかのパラメーターによって決まります。P コントローラーのみが e によって決定されますが、I の変化率のみが e と $T_iに依存します。$ 。c(t) と $T_iなので$ 反比例の関係により、I-only コントローラーの変化率が減少します。

I 専用コントローラーは、P 専用コントローラーとほぼ同じように動作します。入力は、やはりセットポイント、信号、バイアスです。誤差を再度計算し、この値をアルゴリズムに送信します。ただし、アルゴリズムは応答を計算するために線形関係のみを使用するのではなく、積分を使用してどの応答を取るべきかを決定するようになりました。ポイントが評価されると、応答が送信され、システムはそれに応じて調整します。 $T_i への$ 依存による $T$ 、アルゴリズムが正しい応答を決定するのに時間がかかります。入力ステップ増加に対する時間 t0 での I コントローラー出力のグラフ表示を以下の図 3 に示します。予想どおり、このプロットはステッピング入力プロットの下の領域を表しています。

続き.jpg 図 3. ステップ入力の I コントローラー出力。

微分(D)制御

PID コントローラーで使用されるもう 1 つのタイプのアクションは、微分制御です。P 専用制御や I 専用制御とは異なり、D 制御はフィードフォワード制御の一種です。D-control は誤差の変化を分析することでプロセス状態を予測します。その機能は、システムが一貫したセットアップを維持できるように、誤った変更を最小限に抑えることです。D コントローラーの主な利点はシステムの変化に対する耐性であり、その中で最も重要なのは発振です。制御出力は誤差の時間変化率から計算されます。誤差の変化率が大きいほど、コントローラーの応答も顕著になります。

比例コントローラーや積分コントローラーとは異なり、微分コントローラーはシステムを定常状態に導きません。この特性により、システムを適切に制御するには、D コントローラーを P、I、または PI コントローラーと組み合わせる必要があります。

D 制御は、コントローラー出力を誤差の導関数に関連付けます。誤差の導関数は時間に関して計算されます。それは時間の変化に対して誤った変化です。この D 制御の動作は、式 9.2.3 に数学的に示されています。
$c(t)=T_{d} \frac{de}{dt} ………9.2.3$
その中で

c(t) はコントローラーの出力です
Td は微分時定数です
de は誤差の微分変化です
dt は時間の微分変化です

これらの変数がシステムに及ぼす影響を、古典的な手法による PID チューニングでグラフ表示します。

数学的には、微分制御は積分制御の逆です。I-only制御は存在しますが、D-only制御は存在しません。D コントロールは誤差の変化のみを測定します。D 制御は設定値がどこにあるかわからないため、P のみまたは PI 組み合わせ制御などの別の制御方法と組み合わせて使用されることがよくあります。D コントロールは通常、プロセス出力が急速に変化するプロセスに使用されます。ただし、I 制御と同様に、D 制御は P 制御よりも数学的に複雑です。D コントロールを追加すると、コンピューターアルゴリズムが入力変数と出力変数を単に線形に相関させる場合よりも、微分または積分の計算に時間がかかるため、コントローラーの応答時間が遅くなります。 $t_0$ での入力による D コントローラー出力のグラフ表示 $t$ 図 4 に示すように、時間は徐々に増加します。予想どおり、このグラフはステップ入力グラフの導関数を表しています。

続き.jpg 図 4. ステップ入力の D コントローラー出力。

コントローラーがシステムに与える影響

以下の図は、P、I、D コントローラーがシステムにどのような影響を与えるかを視覚的に表現することを目的としています。

画像-282.jpeg

説明

図 5. 安定したデータのサンプル。

画像-797.png ATA 偏差.jpg 図 6. データ干渉。

データコントローラー.jpg 図 7. データに対する P コントローラーの影響。

データコントローラー.jpg 図 8. データに対する I コントローラーの影響。

データコントローラー.jpg 図 9. データに対する D コントローラーの影響。

コントローラーを組み合わせた結果を確認するには、以下をお読みください。

比例積分 (PI) 制御

組み合わせの 1 つは、PID システムの D 制御を欠いたPI制御です。PI 制御はフィードバック制御の一種です。比例動作が追加されるため、I のみの制御よりも速い応答時間が得られます。PI 制御はシステムの変動を停止し、システムを設定値に戻すこともできます。PI 制御の応答時間は I のみの制御よりも高速ですが、それでも P のみの制御よりも 50% 遅くなります。したがって、応答時間を向上させるために、PI 制御は D 専用制御と組み合わせられることがよくあります。

PI 制御は、コントローラーの出力を誤差および誤差積分に関連付けます。この PI 制御の動作は、式 9.2.4 で数学的に説明されます。

$c(t)=K_{c}\left(e(t)+\ frac{1}{T i} \int e(t) dt\right)+C …………9.2.4$
q ここで

c(t) はコントローラーの出力です。
Kc はコントローラーのゲイン、
Ti は積分時間、
e(t) は偽であり、
Cはコントローラの初期値です

この式において、積分時間は、コントローラーの I 専用部分がコントローラーの P 専用部分によって提供される制御と一致するのに必要な時間です。

この方程式は、PI コントローラーが微分項がゼロの簡略化された PID コントローラーのように機能することを示しています。あるいは、PI コントローラーは、P のみの制御方程式と I のみの制御方程式の組み合わせとして見ることもできます。P-only 制御のバイアス項は、I-only 制御の積分動作と等しくなります。P のみ制御は、システムが設定値に到達していない場合にのみ機能します。システムが設定点にあるとき、誤差はゼロに等しく、最初の項は方程式から消えます。システムは、コントローラーの I 部分のみによって制御されます。再び設定値から逸脱すると、P のみ制御が実行されます。入力ステップ増加に対する時間 t0 での PI コントローラー出力のグラフ表示を以下の図 5 に示します。予想どおり、このプロットは、P のみのプロットと I のみのプロットを定性的に組み合わせたものに似ています。

新しい.jpg 図 10. ステップ入力の PI コントローラー出力。

KcとTiの影響

PI 制御システムを使用する場合、コントローラーのアクティビティはKcと $T_iによって変化します。$ 減少しますが、コントローラーの応答の積極性に単独で作用する可能性があります。以下の図 11 を検討してください。中央のプロットは、線形 2 次システムの基本ケースです。

私のパフォーマンス.jpg 図 11. $K_c$ 和 $T_i$ 影響

画像は $T_iを表しています$ と $K_c$ 両方がシステムのパフォーマンスにどのような影響を与えるか、両方がシステムに影響を与えるのか、それぞれが独立して影響を与えるのか。コントローラーのゲインを増やすと (グラフの下から上に移動すると)、積分時間に関係なくコントローラーのアクティビティが増加します。同様に、積分時間を減少させると (グラフ上で右から左に移動すると)、コントローラーのゲインに関係なくコントローラーのアクティビティが増加します。予想通り、 $K_c が増加すると$ そして、 $T_iを削減します$ 感度が向上し、最も攻撃的なコントローラーシナリオが作成されます。

PI 制御システムには相互作用するパラメーターが 2 つしかないため、同様のパフォーマンス図は依然として混乱を引き起こす可能性があります。たとえば、図のプロット A と B はどちらも非常によく似ていますが、各プロットのパラメーターは影響を受けています。これにより、さらに問題が発生し、間違ったパラメータが修正されると非常に攻撃的なシステムが作成される可能性があります。PI システムでは試行錯誤がうまくいくかもしれませんが、PID では 3 番目のパラメーターが導入され、プロットがますます似てくるため、試行錯誤は面倒になります。

もう 1 つの注目すべき観察は、通常の状態でのプロット $K_cです。$ そしてダブル $T_i$ 。このプロットは、比例項がどのように役立つかを示していますが、最初は積分が十分な重みを持たず、最終的に積分項が追いつき、システムが設定値に到達するのに役立つ前にわずかな振動が発生します。

比例微分（PD）制御

もう 1 つの制御の組み合わせは、PID システムの I 制御を欠いた PD 制御です。PD 制御は、現在および予測されるプロセス条件に基づいて動作するため、フィードフォワード制御とフィードバック制御を組み合わせたものです。PD 制御では、制御出力は誤差信号とその導関数の線形結合です。PD 制御には、変動を減衰するための比例制御とプロセス誤差を予測するための微分制御が含まれます。

前述したように、PD 制御はコントローラーの出力を誤差および誤差の導関数に関連付けます。この PD 制御の動作は、式 5 に数学的に示されています。

$c(t)=K_{c}\left(e(t)+T_{d} \frac{de}{ dt}\right)+C……9.2.5$

どこ

c(t) = コントローラー出力
Kc = 比例ゲイン
e = エラー
C = コントローラーの初期値

この方程式は、PD コントローラーが積分項がゼロの簡略化された PID コントローラーのように機能することを示しています。あるいは、PD コントローラーは、P のみの制御方程式と D のみの制御方程式の組み合わせとして見ることもできます。この制御では、D 制御の目的は、閉ループシステムの安定性を向上させるために誤差を予測することだけです。PD 制御は積分項がないため一般的には使用されません。定常状態動作における誤差は、積分項がなければ最小化されません。PD 制御は通常、定常状態動作での誤差を最小限に抑える必要がないバッチ pH 制御ループで使用されます。このアプリケーションでは、誤差は比例項と微分項を通じて作動信号に関連付けられます。入力ステップ増加に対する時間 t0 での PD コントローラー出力のグラフ表示を以下の図 6 に示します。また、予想どおり、このプロットは P のみのプロットと D のみのプロットを組み合わせたものです。

図 12. ステップ入力の PD コントローラー出力。

比例・積分・微分（PID）制御

比例・積分・微分制御は、3 つの制御方法をすべて組み合わせたものです。PID 制御は、各制御タイプの利点を組み合わせたものであるため、最も一般的に使用されます。これには、P のみの制御による応答時間の高速化、および微分および積分コントローラーを組み合わせた場合のオフセット削減/ゼロが含まれます。このオフセットは、I コントロールを追加使用することで解消されました。D 制御の追加により、誤差の変化を測定することでシステムへの外乱を予測するため、組み合わせて使用するとコントローラーの応答性が大幅に向上します。逆に、前述したように、単独で使用すると、高速な P のみのコントロールよりも応答時間が遅くなります。ただし、PID コントローラーは最適なコントローラーであるように見えますが、最も高価でもあります。したがって、プロセスで PID コントローラーが提供する精度と安定性が必要な場合を除き、このコントローラーは使用されません。

PID 制御は、コントローラー出力を誤差、誤差積分、誤差微分に関連付けます。この PID 制御の動作は、式 6 (Scrcek* et al.)* に数学的に示されています。

$KaTeX 解析エラー: 未定義の制御シーケンス: 位置 84 の \label: …{dt}\right)+C \̲l̲a̲b̲e̲l̲{6}$

どこ

c(t) = コントローラー出力
Kc = コントローラーゲイン
e(t) = 誤差
Ti = 積分時間
Td = 微分時定数
C = コントローラーの初期値

上式に示すように、PID 制御は 3 種類の制御をすべて組み合わせたものです。PID 複合制御ではゲインが I 動作と D 動作にも影響するため、この式ではゲインに比例項だけでなく積分項、微分項も乗算されます。微分制御を使用するため、ノイズが予測のフィードフォワード面に干渉するため、非常にノイズの多いプロセスには PID 制御を使用できません。ただし、プロセスがオフセットと高速応答時間を必要としない場合は、PID 制御が使用されます。入力ステップ増加に対する時間 t0 での PID コントローラー出力のグラフ表示を以下の図 7 に示します。このプロットは、P のみ、I のみ、および D のみのプロットの定性的な組み合わせに似ています。

図 7. ステップ入力の PID コントローラー出力。

PID 制御以外にも、P、I、D 制御を組み合わせることができます。これらの代替の組み合わせは、PID 制御を簡素化したものです。

注: e(t) の次数

e(t) 内の要素の順序は場合によって異なる場合があります。固定要素から可変要素を差し引くことも、その逆も可能です。この概念をよりよく説明するために、例を見てみましょう。出口バルブを操作して貯蔵タンク内の液面を制御する PID 制御を作成しているとします。タンク内の液体レベルが設定値を超えると、タンクからより多くの流れを出せるようにバルブをさらに開く必要があります。あなたは肯定的な反応を求めています。したがって、液体レベルが設定値よりも高い場合、e(t) は正の値を示すはずです。この場合、e(t) は (V-Vset) になります。同じロジックを他のシステムでも使用して、PID 制御における e(t) を決定することができます。

Excel でオイラーを使用して PID コントローラーをモデル化する

多くのエンジニアリングシステムと同様に、PID コントローラーは、オイラー法などの数値手法を使用して Excel でモデル化できます。まず、指定されたパラメータの初期値から始めます。タイムステップでのこのパラメーターの変化は、そのステップの 3 つのコントローラー P、I、D を合計することによって決定されます。これらは、上記の P、I、D、PI、PD、PID 制御セクションにリストされています。方程式が求められます。この変更を行って、選択したタイムステップを乗算し、対象のパラメータの前の値に追加します。詳細については、「Excel で数値常微分方程式を解く」を参照してください。このアプローチを使用した化学工学の問題の例を、以下の例 4 に示します。

Excel での PID モデリングのトラブルシューティング

PID コントローラーをモデル化するために Excel スプレッドシートを設定すると、循環参照を作成したことを示すエラーメッセージが表示される場合があります。リアクター内に既に存在する別の反応物の濃度に応じて、リアクターへの 1 つの反応物 (B�) を (1 つずつ) 制御しているとします。PID 方程式は次のようになります。

$FB=1+K_{c}\left[\left( A-A_{\mathrm{set}}\right)+\frac{1}{\tau_{i}} \int\left(A-A_{\mathrm{set}}\right) d t+\tau_{d } \frac{d\left(A-A_{\mathrm{set}}\right)}{dt}\right] \nonumber$

和
$x_{i}=\frac{d\left(A-A_{\mathrm{set}}\right)}{dt} \nonumber$

列設定後 A − A Set $A_{set}$ , $d(A - A_{セット})/dt$ ， $x_i$ Kc、τi、τd などのパラメータのセルと同様に、PID 式を含む PID 列を PID 列に設定する必要があります。PID 列の最初のセルに数式を入力した後、その数式を列内の別のセルにドラッグしようとすると、循環参照エラーメッセージが表示される場合があります。

次の 2 つのことができます。

PID 列の 2 番目または 3 番目のセルで PID 方程式を開始する必要がある場合があります。PID 方程式を開始する前に、最初のいくつかのセルに適切な値を入力すると、これらの値がコントローラーの最終結果に影響を与えないことがわかります。
ステップサイズを小さくしてみることもできます ( $Δｔ）$ 。

概要表

表 1 は、3 つのコントロールの長所と短所をまとめたものです。

**表 1.** コントロールの長所と短所

うまり 1.jpg

表 2 に、さまざまなコントローラーの一般的な使用ガイドラインを示します。

**表 2.** P、I、D、PI、および PID コントローラーの一般的な使用法

IDカード利用フォーム.jpg

表 3 に用語と記号の定義をまとめます。

**表 3.** 用語と記号の定義。

識別.jpg

例9.2.19.2.1

ある業界があなたをバッチ反応器の 1 つの責任者に任命したとします。あなたの仕事は、原子炉内の設定値レベルを維持する方法を見つけることです。あなたの上司は、ある種のレギュレータコントローラを使用したいと考えていますが、どれを使用すればよいかよくわかりません。上司が適切なタイプのコントローラーを見つけるのを手伝ってください。反応器内の液体レベルが設定値にあることが非常に重要です。大きな変動や誤差は許容できません。

ソリューション

PID コントローラーを使用することもできます。P 制御により、システムは変化に非常に迅速に応答します。I 制御の作用により、システムは設定値に戻ることができます。最後に、システムを一定の設定値に保つことが重要であるため、D 制御は誤差の変化を測定し、それに応じてシステムを調整します。

例9.2.29.2.2

高校に戻ると、昔の化学の授業にオーブンがあることに気づきました。溶液から水分を除去するためにオーブンが使用されます。ChE 466 から得た知識を活用すると、オーブンが設定温度を維持するためにどのような種類のコントローラーを使用しているか疑問に思い始めます。あなたは、熱心に学びたがる高校生がいることに気づき、彼らに化学エンジニアになるよう促すことを期待して、自分の知識を彼らと共有することにしました。オーブン内にある可能性が最も高い制御装置の種類と、その制御装置がどのように機能するかを説明します。

ソリューション

オーブンは溶液から水分を除去するためにのみ使用されるため、設定温度と実際の温度の間の変動、誤差、遅れはすべて許容されます。したがって、最も簡単で使いやすいコントローラーはswitchコントローラーです。オーブン内の温度が設定温度より低い場合、スイッチコントローラーは加熱機構をオンにします。オーブンの温度が設定温度を超えると、コントローラーは加熱機構をオフにします。

例9.2.39.2.3

あなたの提案を受け入れた後、業界の所有者がバッチ反応器内の液面を制御するために PID コントローラーを設置することを決定したと仮定します。リアクターを初めて起動するとき、コントローラーは最初にステップ入力を受け取ります。リアクターが定常状態に達すると、リアクター内の液面が変動する傾向があり、コントローラーにパルス入力が送信されます。パルス入力の場合、PID コントローラーの出力のグラフ表示が提供されます。

入力.jpg 図 8. パルス入力。

ソリューション

PID コントローラー出力は、P のみ、I のみ、および D のみのコントローラー出力の組み合わせになります。ステップ入力の P コントローラー出力と同様、パルス入力の P コントローラー出力も入力とまったく同じです。

図 9. パルス入力の P コントローラー出力。

I コントローラーの出力は、入力グラフの下の領域を表します。ステップ入力とは異なり、パルス入力グラフの下の領域は、パルスが通過するとゼロになります。したがって、I コントローラの出力グラフは最終的に連続的に増加せず、横ばいになる傾向があります。

図 10. パルス入力の I コントローラ出力。

D コントローラーの出力は、入力グラフの導関数を表します。グラフの最初の不連続点における導関数は正の無限大になります。2 番目の下向き不連続性の導関数は負の無限大です。

図 11. パルス入力時の D コントローラ出力。

3 つのグラフすべての定性的特性を組み合わせると、パルス入力に対する PID コントローラーの出力を決定できます。

図 12. パルス入力の PID コントローラー出力。

例9.2.39.2.3

PID コントローラーの堅牢性を決定する際には、さまざまな種類の外乱が発生する可能性があります。これらのさまざまな外乱は、システム内で起こり得る変化をシミュレートするために使用されます。CSTR リアクターの場合、寒い外天候に対処するためにシステムを加熱することにします。図に示すように、入力温度の摂動はランプ摂動です。コントローラーが入力温度に応答した場合、PID コントローラーの出力はどうなりますか?

図 13. ランプ入力。

ソリューション

p 個のコントローラーのみを備えたコントローラーのみを使用すると、入力変数の変化に対応するコントローラー出力の比例的な変化がわかります。以下の図 14 を参照してください。

amp2 p.jpg 図 14. ランプ入力の P コントローラー出力。

I-only コントローラーでは、グラフの下の領域に対応するコントローラーが表示されます。この場合、この領域は傾斜ジオメトリとともに指数関数的に増加するように見えます。

amp2 i.jpg 図 15. ランプ入力の I コントローラー出力。

D-only コントローラーでは、ランプ外乱に対するステップ応答が見られます。これは、D コンポーネントが導関数に対応し、ランプ入力が開始条件の傾き (通常はゼロ) とは異なる一定の傾き (この場合は正) を示すためです。図 16 を参照してください。

図 16. ランプ入力の D コントローラー出力。

PID コントローラーでは、3 つのコンポーネントすべてがコントローラー出力で役割を果たします。ご想像のとおり、結果は 3 つの個別のコンポーネントグラフを単純に加算したものになります。

amp2 pid.jpg 図 17. ランプ入力の D コントローラー出力。

例9.2.69.2.6

以下はプロセス A+B –>C の P&ID です。

アクターシステムPID.jpg 図 18. 反応プロセスの P&ID。

TK001 の容量を設定値 50 リットルに制御するための V3 の PID コントローラー式は何ですか? 注: PID コントローラーは LC1 を使用して体積を測定します。

ソリューション

PID コントローラーの一般的な式は次のとおりです。

$c(t)=K_{c}\left[e(t)+\frac{1} {T_{i}} \int e(t) d t+T_{d} \frac{de}{dt}\right]+C \nonumber$

どこ

c(t)�(�)= コントローラー出力
Kc��= コントローラーゲイン
e(t)�(�) = エラー
Ti i = 積分時間
Td��= 微分時定数
C�= コントローラの初期値

したがって、この例の解決策は次のようになります。

$。F_{\mathrm{out}}=offset+K_{c}\left[\left(V_{1}-V_{\mathrm{set}}\right)+\frac{1}{T_{i}} \int\left(V_{1}-V_{\mathrm{set}}\right) d t+T_{d} \frac{d\left(V_{1}-V_{\mathrm{vet}}\right )}{dt}\right]。\番号なし$

例9.2.69.2.6

この問題では、PID コントローラーを使用して特定の一次システムを記述する微分方程式が決定されます。これは、明確に定義されたシステムがどのように数学的にモデル化または説明できるかを示すことを目的としています。この質問の補足として、「ブロック図の構築」を参照してください。これは、ラプラス変換の代わりに積分微分演算子を使用した解法の例であることに注意してください。ここでは、Kp=1��=1とします。

一般的な一次プロセスを考えてみましょう。

$\nonumber$

ここで、Y ( t ) はシステムの出力、X ( t ) は入力です。PID コントローラーをシステムに追加し、単一の単純な微分方程式を解きます。PID コントローラーの演算子または式は次のとおりです。測定にはむだ時間がないと仮定します。

$G=K_{c}\left[1+\frac{1}{\tau_{I}} \int_{0}^{t } d \tau+\tau_{D} \frac{d}{dt}\right] \nonumber$

解決策: この問題のトラブルシューティングを行う場合は、構成ブロック図を参照として使用してください。
方程式はシステムを定義します。

プロセス: τ pY '( t ) + Y (t) = X ( t )
コントローラー: X ( t ) = Gε ( t )
コンパレータ: ε(t) = R (t) − M ( t )
測定: M ( t ) = Y ( t )
プロセス: τ pY '( t ) + Y ( t ) = X ( t )
コントローラー: X ( t ) = G ε( t )
コンパレータ: ε( t ) = R ( t ) − M ( t )
測定: M ( t ) = Y ( t )

これらの方程式を 1 つの方程式にまとめると、次の式が得られます。これは、コンパレータの測定値をコントローラのプロセス方程式に追加することによって実現されます。
$τ_pY'(t) + Y(t) = G(R(t) − Y(t)) \nonumber$

コントローラー演算子を置き換えてから、yield を評価します。

$\tau_{p} Y^{\プライム}(t)+Y(t)=K_{c}\left[1+\frac{1}{\tau_{I}} \int_{0}^{t} d \tau+\tau_{D} \ frac{d}{dt}(R(t)-Y(t))\right] \nonumber$

$tau_p Y'(t) + Y(t) = K_c\left[R(t) + \frac{1}{\tau_I} \int_{0}^{t}R(t) d\tau\ + \tau_D \frac{d}{dt}R(t)-[Y(t) + \frac{1}{\tau_I} \int_{0}^{t}Y(t) d\tau\ + \tau_D \frac {d}{dt}Y(t)]\right]$

微分方程式には積分があるので、時間で微分する必要があります。

$tau_p Y''（t） + Y'（t） = K_c\left[R'（t） + \frac{1}{\tau_I} R（t） + \tau_D R''（t）-[Y' （t） + \frac{1}{\tau_I} Y（t） + \tau_D Y''（t）]\right]$
$tau_p Y''(t) + Y'(t) = K_c(R'(t)-Y'(t)) + \frac{K_c}{\tau_I} (R(t)-Y(t)) + K_c \tau_D (R''(t)-Y''(t))$

これを 2 階微分方程式を解くための標準表記に置き換えるには、Y(t)�(�) の項が一方の側にあり、R(t)�(�) の項が反対側にある必要があります。また、係数 Y(t)�(�) 項は 1 である必要があります。

$\frac{\tau_{I}\left(\tau_{p}-K_{c} \tau_{D}\right)}{K_{c}} Y^ {\prime \prime}(t)+\frac{\tau_{I}\left(1 + K_{c}\right)}{K_{c}} Y^{\prime}(t)-Y(t )=\tau_{I} \tau_{D} R^{\prime \prime}(t)+\tau_{I} R^{\prime}(t)+R(t) \nonumber$

上記の方程式は手動で、または Mathematica などのプログラムを使用して解くことができます。コンピュータプログラムを使用すると、制御パラメータKc、τI 、 τDのさまざまな値を選択でき、システムの変化に対する応答をグラフで評価できます。

演習 9.2.19.2.1

以下の方程式はどのタイプのコントローラーを示していますか?

$c(t)=K_{c}\left[e(t)+\frac{1}{T_{i}] } \int e(t) dt\right]\nonumber$

フィードフォワード
PID
デリバティブ
比例積分

答え

演習 9.2.29.2.2

システムを一貫した設定に保つことでシステムの安定性を向上させるのは、どのタイプのコントローラですか?

デリバティブ
比例
スイッチ
完了

答え

演習 9.2.39.2.3

ドリフトを排除しながら、できるだけ早く所望の設定値に到達するために応答性が向上するのは、どのタイプのコントローラーですか?

スイッチ
比例
完了
比例積分

答え

微生物研究所が、市の水道で P. ウルフィと呼ばれる致死性の新種の細菌を発見した。水を殺菌するには、105℃の温度で細菌を加熱死滅させる必要があります。ただし、これは 1 気圧の水の沸点よりも高く、細菌はガスまたは蒸気中での胞子形成により液体中でのみ加熱されます。この滅菌を行うには、オートクレーブを使用して水を 30 気圧の圧力に保ち、5 秒間加熱して水を液体の状態に保つことをお勧めします。オートクレーブは爆発するまでに最大 7 気圧までの圧力しか処理できないため、プロセスが希望の仕様に従って動作することを確認するには、PID コントローラーモデルを Excel で作成する必要があります。システムの視覚的な図については、図 18 を参照してください。

図 18. 温度および圧力 PID 制御を備えた自動ケトル

定式化された Excel ソリューションについては、このリンクをクリックしてください

説明：

システム内の圧力変化の実際の状況をシミュレートするために、列 B は圧力のランダムな変動を生成する方程式を呼び出します。Pset は必要な仕様にすぎません。誤差は、設定圧力と測定信号の差です。du/dt は、P、I、および D 項の合計です。それぞれの計算に使用される方程式は記事に記載されており、各時間ステップに関連する誤差が考慮されています。dU/dt は、測定された圧力と望ましい圧力の差を補正するために変更されるパラメーターです。

引用

Astrom、Karl J.、Hagglund、Tore.、「Advanced PID Control」、Society for Instrumentation, Systems, and Automation。
Cooper, Douglas J. 「実践的なプロセス制御の電子教科書」http://www.controlguru.com
Scrcek、William Y.、Mahoney、Donald P.、Young、Brent R.、「プロセス制御へのリアルタイムアプローチ」、第 2 版。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ株式会社

導入

制御タイプ

I， D， PI， PD， PID 控制

比例§制御

積分（I）制御

微分(D)制御

コントローラーがシステムに与える影響

比例積分 (PI) 制御

KcとTiの影響

比例微分（PD）制御

比例・積分・微分（PID）制御

注: e(t) の次数

Excel でオイラーを使用して PID コントローラーをモデル化する

Excel での PID モデリングのトラブルシューティング

概要表

例9.2.19.2.1

ソリューション

例9.2.29.2.2

ソリューション

例9.2.39.2.3

ソリューション

例9.2.39.2.3

ソリューション

例9.2.69.2.6

例9.2.69.2.6

演習 9.2.19.2.1

演習 9.2.29.2.2

演習 9.2.39.2.3

引用

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