春は短すぎると君は言う
自分を見る時間がなかった
祝宴の夏に打ち砕かれるだろう
それから咲きます
くそ
1. 和と積
1.1 合計
ここで、1 に 100 を加算する単純な合計演算を紙に書き留めたいとします。
1 + 2 +3 + 4 + 5 + ...... + 99 + 100
合計表記 (「シグマ」と発音) を使用して簡略化します。
どれくらいの量を追加すればよいか不明な場合:
セットには合計表記を使用します。
1.2 直角位相
ここで、1 から 100 を乗算する単純な直交演算を紙に書き留めたいとします。
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * ...... * 99 * 100
求積記法 (「パイ」と発音) を使用して簡略化します。
どれだけ乗算するかが明確でない場合:
2. 差別化
2.1 微分についての概要
機械学習の分野では、最適化問題を解決するためにさまざまな方法が使用されますが、そのうちの 1 つは微分を使用することです。
微分することで、ある時点での関数の傾きを知ることができますし、関数の一瞬の変化も知ることができます。
例：路上走行シーン（ストップ＆ゴー）
全体像から、車両は 40 秒間に約 120m 走行したことがわかります。したがって、この間の車両の走行速度は次のようになります。
120m / 40秒 = 3m/秒
3m/s は車の平均速度であり、発進直後は車の速度が遅く、赤信号で速度が 0、つまり瞬間速度となることが図から分かります。それぞれの時点で車両は異なります。
車両の「瞬間的な速度」を求めるために、徐々に時間間隔を短くしてみましょう。
10 秒から 20 秒以内の車両の速度は次のように計算できます。
60m / 10秒 = 6m/秒
同様に、時間間隔を何度も短縮して、10 秒から 11 秒の間の傾きを見つけ、10.0 秒から 10.1 秒の間の傾きを見つけます。最終的に10秒時点の傾き、つまり速度が求められます。このように区間を狭めて傾きを求める方法が微分です。
この「瞬間的な変化」を見つけるために、関数が f(x) で h が小さな数であると仮定すると、点 x における関数 f(x) の傾きは次のように表すことができます。
3. 偏微分
前述の微分では、関数 f(x) は変数 x を 1 つだけ持つ一変量関数です。ただし、実際には、多くの変数を含む多変量関数です。
多変数関数をどう扱うか?
コア:微分の変数にのみ注目し、他の変数を定数として扱うこの種の微分方法は偏微分と呼ばれます。
例：
x1 に関する関数 h の偏微分：
x2 に関する関数 h の偏微分：
このように微分する変数だけに注目し、他の変数はすべて定数として扱うと、この変数の下での傾きがわかります。変数がどれだけ増加しても、この方法は適用できます。
4. 複合関数
次の 2 つの機能があります。
x に任意の値を代入すると、関数の出力値を取得できます。
定数を関数に代入できるだけでなく、計算を関数に代入することもできます。
このように複数の関数から構成される関数を複合関数といいます。
例: 合成関数 f(g(x)) を x に関して微分します。
1. 関数を一時的に変数に置き換えます。
2. 段階的に区別します。
言い換えれば、u に関する y の微分の結果と、 x に関する u の微分の結果を乗算するだけです。
3. 実際の差別化:
概要: 複雑な関数を微分するには、関数を複数の単純な関数から構成される複合関数として扱い、それを微分します。重要な部分は、関数を単純な関数に分割する方法です。
5. ベクトルと行列
ベクトルとは、数値を縦に並べたデータ構造です。
マトリックスとは数値を縦横に並べたデータ構造です。
一般的に使用される小文字はベクトルを表し、大文字は行列を表し、すべて太字で表示されます。
行列は、それぞれ合計、差、積の計算をサポートします。次の 2 つの行列 A と B があり、それぞれの和、差、積を計算します。
和と差を計算します。
積を計算します。左の行列の行の要素と右の行列の列の要素を順番に乗算し、その結果を加算する必要があります。
最終結果:
最後に、転置について学びます。行と列を交換する操作は転置と呼ばれます。
ベクトルの積を計算する場合、多くの場合、次のベクトルを転置した後に計算されます。
6. 幾何学的なベクトル
ベクトルには大きさと方向があります。
ベクトルの加算と減算:
代数的な計算では、ベクトル内の要素を加算および減算するだけです。
ベクトル間の積:
このように、ベクトルの内積を計算すると、結果はベクトルではなく、普通の数値（サイズ）になります。この一般的な数値には、スカラーという少し珍しい名前が付けられています。したがって、内積はスカラー積とも言えます。また、内積の演算記号が乗算記号「×」ではなく、ドット「・」であるため、内積と呼ばれることもあります。
ベクトル a とベクトル b の間の角度を θ とすると、内積は次のように表すこともできます。
θを横軸、cosθを縦軸とすると、cos関数のグラフは次のようになります。
法線ベクトルは、線に垂直なベクトルです。
7. 指数と対数
指数法則
指数関数
対数の法則
対数関数
自然対数
対数微分
