2階常微分方程式の数値解法（中心差分法、有限体積法）

2階常微分方程式の数値解法（中心差分法、有限体積法）

ここでは方程式を解くための中心差分法と有限体積法を紹介します。
問題:
差分法の中心差分形式と有限体積法の 2 点境界値問題
${あなた}^{「」}-ある\left(2\times -1\right){あなた}^{』}-2時=0、0<バツ<1u\_\left(0\right)=あなた\left(1\right)=1、$
パラメータ$ある=図１０に$示すように、異なるグリッドの最大誤差と収束次数が得られる。

問題分析

ステップ 1: メッシュ生成: まず、N + 1 個のノードを次のように取得します: $ある={バツ}_{}<{バツ}_{}<{バツ}_{}<\cdots <{バツ}_{}=b$、
区間 [a, b] を等間隔に分割し、それを N 個の小さな区間に分割します。$h={バツ}_{私+}-{バツ}_{}、私=1、2、\cdots 、N-1$はグリッド ステップ サイズです。次に、二重分解を実行します: 隣接するノード${バツ}_{私+}、{バツ}_{}$的中点${バツ}_{私+\frac{}{2}}=\frac{}{2}\left({\times }_{私+}-{バツ}_{}\right)、私=1、2、\cdots 、N-1.$由这些节点构成的剖分为对偶剖分.
(i)中心差分法：
$\frac{}{h^2}\left({あなた}_{私+}-2{と}_{}+{あなた}_{i-}\right)-\frac{\alpha （2{\times }_{}-1}{2時間}\left({あなた}_{私+}-{あなた}_{i-}\right)-2\alpha u\_{\_}_{}=0$
$\Rightarrow$
$\left(\frac{}{h^2}-r_{}\right){あなた}_{私+}+(-\frac{}{h^2}-2a)\_{あなた}_{}+\left(\frac{}{h^2}+r_{}\right){あなた}_{i-}=0$、

ここで、$r_{}=\frac{\alpha （2{\times }_{}-1}{2時間}。$
A$あ=\left[\begin{array}{cccccc}-\frac{}{h^2}-2a\_& \frac{}{h^2}-r_{}& 0& \cdots & 0& 0\\ \frac{}{h^2}+r_{}& -\frac{}{h^2}-2a\_& \frac{}{h^2}-r_{}& \cdots & 0& 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ & & & & \frac{}{h^2}+r_{N-}& -\frac{}{h^2}-2a\end{array}\right],$
$$\begin{gathered} U={\left({あなた}_{}、{あなた}_{}、\cdots 、{あなた}_{N-}\right)}^T、 \\ b={\left(-{う}_{}\left(\frac{}{h^2}+r_{}\right)、0、0、\cdots 、0、-{う}_{}\left(\frac{}{h^2}+r_{N-}\right)\right)}^T \end{gathered}$$ .
次に AU=b.
次に U を解きます。

(ii) 有限体積法: W ( x ) = dudx W\left(x\right)=\frac{du}{dx}
とします。$W\left(\times \right)=\frac{}{dx\_}$、次に$\frac{dW}{dx\_}-ある\left(2\times -1\right)W\left(\times \right)-2時=0.$
两边同時解分得：
$W\left({\times }_{私+\frac{}{2}}\right)-W\left({\times }_{私は-\frac{}{2}}\right)-{\int }_{{バツ}_{私は-\frac{}{2}}}^{{バツ}_{私+\frac{}{2}}}\alpha （2\times -1\left)W\right(x)dx-{\int }_{{バツ}_{私は-\frac{}{2}}}^{{バツ}_{私+\frac{}{2}}}2\alpha udx\_\_\_=0.$
分中定理により得られる値：
$W\left({\times }_{私+\frac{}{2}}\right)-W\left({\times }_{私は-\frac{}{2}}\right)-W\left({\times }_{}\right){\int }_{{バツ}_{私は-\frac{}{2}}}^{{バツ}_{私+\frac{}{2}}}\alpha （2\times -1)dx\_-{あなた}_{}{\int }_{{バツ}_{私は-\frac{}{2}}}^{{バツ}_{私+\frac{}{2}}}2\alpha dx\_\_\_=0.$
$\Rightarrow$
$W\left({\times }_{私+\frac{}{2}}\right)-W\left({\times }_{私は-\frac{}{2}}\right)-W\left({\times }_{}\right)({\times }_{私+\frac{}{2}}+{バツ}_{私は-\frac{}{2}}-1)h\alpha -2\alpha u\_{\_}_{}h=0$
$\Rightarrow$
$\frac{}{h}\left({あなた}_{私+}-2{と}_{}+{あなた}_{i-}\right)-\frac{}{4}\left({\times }_{私+}+2倍{\_}_{}+{バツ}_{i-}\right)\left({あなた}_{私+}-{あなた}_{i-}\right)+\frac{}{2}\left({あなた}_{私+}-{あなた}_{i-}\right)-{2\alpha u\_\_}_{}h=0$
$\Rightarrow$
$\left(\frac{}{h}-{私}_{}+\frac{}{2}\right){あなた}_{私+}+(-\frac{}{h}-2\alpha h）\_\_{あなた}_{}+\left(\frac{}{h}+{私}_{}-\frac{}{2}\right){あなた}_{i-}=0、$
ここで${私}_{}=\frac{}{4}\left({\times }_{私+}+2倍{\_}_{}+{バツ}_{i-}\right)$ _ A = [ − 2 h − 2 α h 1 h − l 1 + α 2 0 ⋯ 0 0 1 h + l 2 − α 2 − 2 h − 2 α h 1 h − l 2 + α 2 ⋯ 0 0 ⋯ とします
。$あ=\left[\begin{array}{cccccc}-\frac{}{h}-2\alpha h\_\_& \frac{}{h}-{私}_{}+\frac{}{2}& 0& \cdots & 0& 0\\ \frac{}{h}+{私}_{}-\frac{}{2}& -\frac{}{h}-2\alpha h\_\_& \frac{}{h}-{私}_{}+\frac{}{2}& \cdots & 0& 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ & & & & \frac{}{h}+{私}_{N-}-\frac{}{2}& -\frac{}{h}-2\alpha \end{array}\right]、$

$U={\left({あなた}_{}、{あなた}_{}、\cdots 、{あなた}_{N-}\right)}^T、F={\left(-{う}_{}\left(\frac{}{h}+{私}_{}-\frac{}{2}\right)、0、0、\cdots 、0、-{う}_{}\left(\frac{}{h}-{私}_{N-}+\frac{}{2}\right)\right)}^T$
次に AU=F となり、
U を求めます。

すべてのコードは次のとおりです (MATLAB)

function E=Centered(h)%中心差分法
u0=1;
uN=1;
N=1/h;
x=zeros(1,N+1);
for i=1:(N)
    x(i+1)=x(i)+h;
end
R=zeros(1,N+1);
for i=1:(N+1)
    R(i)=10*(2*x(i)-1)/(2*h);
end
A=zeros(N-1,N-1);
A(1,1)=-2/(h*h)-20;
A(1,2)=1/(h*h)-R(2);
A(N-1,N-1)=-2/(h*h)-20;
A(N-1,N-2)=1/(h*h)+R(N)
for i=2:(N-2)
        A(i,i)=-2/(h*h)-20;
        A(i,i+1)=1/(h*h)-R(i+1);
        A(i,i-1)=1/(h*h)+R(i+1);
end
b=zeros(1,N-1);
b(1)=-u0*(1/(h*h)+R(2));
b(N-1)=-uN*(1/(h*h)-R(N));
y=A\b';
Y=zeros(N+1,1);
Y(1,1)=1;
Y(N+1,1)=1;
for i=2:N
    Y(i,1)=y(i-1,1);
end
plot(x,Y ,'r*-');
hold on;
exa = dsolve('D2u = 10*(2*x-1)*Du+20*u', 'u(0)=1','u(1)=1', 'x');       %求出解析解
ezplot(exa, [0,1]);       %画出解析解的图像
legend('中心差分法数值解','解析解' );
u=zeros(1,N+1);
exa=inline(exa);
for i=1:(N+1)
    u(i)=feval(exa,x(i));
    e(i)=abs(u(i)-Y(i));
end
E=max(e);

function E=V(h)%有限体积法
u0=1;
uN=1;
N=1/h;
x=zeros(1,N+1);
for i=1:(N)
    x(i+1)=x(i)+h;
end
R=zeros(1,N+1);
for i=2:N
    R(i)=2.5*(x(i+1)+2*x(i)+x(i-1));
end
A=zeros(N-1,N-1);
A(1,1)=-2/h-20*h;
A(1,2)=1/h+5-R(2);
A(N-1,N-1)=-2/h-20*h;
A(N-1,N-2)=1/h-5+R(N);
for i=2:(N-2)
        A(i,i)=-2/h-20*h;
        A(i,i+1)=1/h+5-R(i+1);
        A(i,i-1)=1/h-5+R(i+1);
end
b=zeros(1,N-1);
b(1)=-u0*(1/h-5+R(2));
b(N-1)=-uN*(1/h+5-R(N));
y=A^(-1)*b';
Y=zeros(N+1,1);
Y(1,1)=1;
Y(N+1,1)=1;
for i=2:N
    Y(i,1)=y(i-1,1);
end
plot(x,Y ,'r*-');
hold on;
exa = dsolve('D2u = 10*(2*x-1)*Du+20*u', 'u(0)=1','u(1)=1', 'x');       %求出解析解
ezplot(exa, [0,1]);       %画出解析解的图像
legend('有限体积法数值解','解析解' );
u=zeros(1,N+1);
exa=inline(exa);
for i=1:(N+1)
    u(i)=feval(exa,x(i));
    e(i)=abs(u(i)-Y(i));
end
E=max(e);
%调试
clear all;clc;close  all;
h=[0.1,0.2,0.01,0.02,0.05];
for i=1:5
    E(i)=V(h(i));
    F(i)=Centered(h(i));
end

質問結果

中心差分法と有限体積法の最大誤差の差は小さく、次数が同じであることが分かりましたので、中心差分法と有限体積法の収束次数は同じであると考えることができます。中心差分法の収束も同様で、次数が 2 次であるため、有限体積法の収束次数も 2 次であることがわかります。

(h=0.1を例として、2つの手法の数値解と解析解のイメージを描きました)