Resumen del modelo de programación matemática (con código MatLab)

descripción general

definición

La programación matemática es una rama de la planificación global, que se utiliza para estudiar: bajo condiciones dadas ( restricciones ), cómo encontrar la solución óptima en el trabajo de planificación y gestión de acuerdo con una determinada fila de indicadores de medición ( función objetivo ).

En términos sencillos, es el problema de encontrar el valor extremo de la función objetivo bajo ciertas restricciones.

forma general

• mín. (o máx.): z = f(x)

• x: variable de decisión (generalmente hay múltiples variables independientes)

• f(x): función objetivo

• Restricciones de desigualdad, Restricciones de igualdad, Restricciones de enteros: Restricciones

Clasificación

1. programación lineal
2. programación no lineal
3. programación entera
4. 0-1 planificación

programación lineal

Tanto la función objetivo f(x) como las restricciones son expresiones lineales de las variables de decisión.

[x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb,ub, x0)  

% X是向量[x1,x2,...xn]' , 即决策变量。（列向量）
% fval 为 function value。
% c是目标函数的系数向量（列向量）
% A是线性不等式约束 Ax<=b 的系数矩阵，b是线性不等式约束 Ax<=b 的常数项（列向量）
% Aeq是线性等式约束 Aeq*x = beq 的系数矩阵，beq是线性等式约束 Aeq*x=beq 的常数项
% lb是X的下限，ub是X的上限。（列向量）
% x0为迭代的初始值（一般不用给）。

Nota: La función linprog solo puede resolver el problema de valor mínimo, y el problema de valor máximo debe convertirse en un problema de valor mínimo agregando un signo negativo antes de la función objetivo, y el resultado fval = - fval es suficiente.

Programación no lineal

Hay expresiones no lineales de las variables de decisión en la función objetivo f(x) y restricciones.

Nota: Es más difícil de resolver que la programación lineal. Actualmente no existe un algoritmo general. La mayoría de los algoritmos buscan la variable de decisión óptima a través de un determinado método de búsqueda después de seleccionar la variable de decisión inicial.

[x,fval] = fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@nonlfun,option)

% x0表示给定的初始值（用行向量或者列向量表示），必须得写
% A b表示线性不等式约束
% Aeq beq 表示线性等式约束
% lb ub 表示上下界约束  lb表示下界 ub表示上界

% @fun表示目标函数
function f = fun1(x)
    f = -x(1)^2-x(2)^2 +x(1)*x(2)+2*x(1)+5*x(2); 
end
	% 这里的f实际上就是目标函数，函数的返回值也是f
    % 输入值x实际上就是决策变量，由x1和x2组成的向量
    
% @nonlfun表示非线性约束的函数
function [c, ceq] = mynonlfun1(x)
    c = [(x(1)-1)^2 - x(2)];     % 默认非线性不等式约束为 ≤ 0
    ceq = [x(1)^2 - x(2)];      % 默认非线性等式约束为 ＝ 0
end

% option 表示求解非线性规划使用的方法
% 使用interior point算法 （内点法）
option = optimoptions('fmincon','Algorithm','interior-point')
% 使用SQP算法 （序列二次规划法）
option = optimoptions('fmincon','Algorithm','sqp')
% 使用active set算法 （有效集法）
option = optimoptions('fmincon','Algorithm','active-set')
% 使用trust region reflective (信赖域反射算法)
option = optimoptions('fmincon','Algorithm','trust-region-reflective')

programación entera

Hay reglas matemáticas que requieren que las variables tomen valores enteros, que se dividen en programación entera lineal y programación entera no lineal .

Nota: Los algoritmos actualmente populares para resolver la programación entera a menudo solo son adecuados para la programación entera lineal.

[x,fval] = intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

% Matlab线性整数规划求解
% intcon 参数可以指定哪些决策变量是整数（行向量）。

Planificación 0-1 (programación 0-1)

Un caso especial de programación entera, las variables enteras solo pueden tomar los valores 0 y 1.

[x,fval] = intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

% 仍然使用线性整数规划的 intlinprog 函数，只不过在lb和ub上做文章。
% 0-1变量的 lb = 0, ub = 1。

modelo máximo-mínimo

Encuentra la estrategia más favorable bajo las condiciones más desfavorables.

[x,feval] = fminimax(@Fun,x0,A,b,Aeg,beg,lb,ub,@nonlfun,option)
max(feval)

% 目标函数 Fun 用一个函数向量表示
% 其他变量与非线性规划相同

modelo de programación multiobjetivo

Hay múltiples objetivos en un problema de planificación.

Solución: La combinación ponderada de funciones multiobjetivo convierte el problema en una programación de un solo objetivo.

[x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb,ub, x0) 

% 仍然使用线性规划的 linprog 函数
% c 中系数乘上了相应权重，并除以某一个常数（做标准化）

Nota:

1. La combinación ponderada solo se puede realizar después de que múltiples funciones objetivo se unifican en un problema de maximización o minimización.
2. Si las dimensiones de las funciones objetivo no son las mismas, es necesario estandarizarlas antes de ponderarlas. El método de estandarización generalmente consiste en dividir la función objetivo por una cierta constante, lo que significa que un cierto valor de la función objetivo puede determinarse empíricamente.
3. Cuando se realiza una suma ponderada en múltiples funciones objetivas, los pesos deben ser proporcionados por expertos en el dominio del problema. Si no hay un requisito especial en la competencia de modelaje real, podemos tener el mismo peso.

Análisis de sensibilidad (para pesos)

Al cambiar los valores de las variables relacionadas uno por uno, se explica la ley de la magnitud de los indicadores clave afectados por los cambios de estos factores.

Ejemplo de programación multiobjetivo + análisis de sensibilidad

%%  多目标规划
w1 = 0.4;  w2 = 0.6;  % 两个目标函数的权重  x1 = 5  x2 = 2
% w1 = 0.5;  w2 = 0.5;  % 两个目标函数的权重  x1 = 5  x2 = 2
% w1 = 0.3;  w2 = 0.7;  % 两个目标函数的权重  x1 = 1  x2 = 6
c = [w1/30*2+w2/2*0.4 ;w1/30*5+w2/2*0.3];  % 线性规划目标函数的系数
A = [-1 -1];  b = -7; % 不等式约束
lb = [0 0]'; ub = [5 6]'; % 上下界
[x,fval] = linprog(c,A,b,[],[],lb,ub) % 求解线性规划时使用 —— 目标函数和约束条件都是线性的
f1 = 2*x(1)+5*x(2)
f2 = 0.4*x(1) + 0.3*x(2)

%% 敏感性分析
clear;clc
W1 = 0.1:0.001:0.5;  W2 = 1- W1;  
n =length(W1);
F1 = zeros(n,1);  F2 = zeros(n,1);   X1 = zeros(n,1);  X2 = zeros(n,1);   FVAL = zeros(n,1);
A = [-1 -1];  b = -7; % 不等式约束
lb = [0 0]; ub = [5 6]; % 上下界
for i = 1:n
    w1 = W1(i);  w2 = W2(i);
    c = [w1/30*2+w2/2*0.4 ;w1/30*5+w2/2*0.3];  % 线性规划目标函数的系数
    [x,fval] = linprog(c,A,b,[],[],lb,ub);
    F1(i) = 2*x(1)+5*x(2);
    F2(i) = 0.4*x(1) + 0.3*x(2);
    X1(i) = x(1);
    X2(i) = x(2);
    FVAL(i) = fval;
end

% 「Matlab」“LaTex字符汇总”讲解：https://blog.csdn.net/Robot_Starscream/article/details/89386748
% 在图上可以加上数据游标，按住Alt加鼠标左键可以设置多个数据游标出来。
figure(1) 
plot(W1,F1,W1,F2)
xlabel('f_{1}的权重') 
ylabel('f_{1}和f_{2}的取值')
legend('f_{1}','f_{2}')

figure(2)
plot(W1,X1,W1,X2)
xlabel('f_{1}的权重') 
ylabel('x_{1}和x_{2}的取值')
legend('x_{1}','x_{2}')

figure(3)
plot(W1,FVAL)  % 看起来是两个直线组合起来的下半部分
xlabel('f_{1}的权重') 
ylabel('综合指标的值')

Ejemplo típico

Ejemplo 1: Problema de programación de enfermeras

Código MatLab

%% 分析问题为 整数规划 问题
clear;clc
c = ones(6,1);
intcon = 1:6;
A = -[ 1 0 0 0 0 1;
      1 1 0 0 0 0;
      0 1 1 0 0 0;
      0 0 1 1 0 0;
      0 0 0 1 1 0;
      0 0 0 0 1 1 ];
b = -[60; 70; 60; 50; 20; 30];
lb = zeros(6, 1);
[x,fval] = intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb);
disp('班次安排：');
disp(x');
disp([ '护士总数：',num2str(fval)]);

Salida MatLab

班次安排：
    60    10    50     0    30     0

护士总数：150

Ejemplo 2: problema de carga de aviones de carga

Código MatLab

%% 分析问题为 线性规划 问题

% 决策变量：xij为将第i个货物装到第j个舱里的吨数；
% 转化前：x11 x12 x13 x21 x22 …… x42 x43
% 转化后：x1  x2  x3  x4  x5  …… x11 x12
% 二维变量一维化，方便后续处理

% 货舱体积限制的线性不等式约束
clear;clc
format long g   %可以将Matlab的计算结果显示为一般的长数字格式（默认会保留四位小数，或使用科学计数法）
A_v = [ eye(3) * 480 eye(3) * 650 eye(3) * 580 eye(3) * 390]; % eye(n) 表示生成n*n的单位阵
b_v = [ 6800; 8700; 5300];

% 货舱重量限制的线性不等式约束
A_w1 = [ eye(3) eye(3) eye(3) eye(3)];
b_w1 = [ 10; 16; 18];
% 货物重量限制的线性不等式约束
A_w2 = [ ones(1, 3) zeros(1, 9);
         zeros(1, 3) ones(1, 3) zeros(1, 6);
         zeros(1, 6) ones(1, 3) zeros(1, 3);
         zeros(1, 9) ones(1, 3)];
b_w2 = [ 18; 15; 23; 12];
% 汇总线性不等式约束
A = [A_v; A_w1; A_w2];
b = [b_v; b_w1; b_w2];

% 每个货舱装载物比例等式约束
Aeq_1 = repmat([1 0 0], 1, 4) / 10 - repmat([0 1 0], 1, 4) / 16; % 货舱一和货舱二重量成比例
Aeq_2 = repmat([1 0 0], 1, 4) / 10 - repmat([0 0 1], 1, 4) / 8; % 货舱一和货舱三重量成比例
Aeq = [Aeq_1; Aeq_2];
beq = zeros(2, 1)

% 计算飞机利润的系数矩阵
c = -[ones(3, 1) * 3100; ones(3, 1) * 3800; ones(3, 1) * 3500; ones(3, 1) * 2850];
% 每次装运最小值为0
lb = zeros(12, 1);
[x, fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb);
fval = -fval;
% 对 x 做变形转置处理，输出结果
x = reshape(x, 3, 4)';
disp('装运方式：（行为货物，列为货舱）');
disp(x);
disp(['最大飞行利润', num2str(fval)]);

Salida MatLab

装运方式：（行为货物，列为货舱）
                         0                         0                         0
                        10                         0                         5
                         0          12.9473684210526                         3
                         0          3.05263157894737                         0

最大飞行利润121515.7895

Ejemplo 3: Problema de valor máximo de programación no lineal

Código MatLab

%% mainCode部分
clc;clear
format long g   %可以将Matlab的计算结果显示为一般的长数字格式（默认会保留四位小数，或使用科学计数法）

% 给定初始值，此处可以使用蒙特卡洛模拟给定初始值。
x0 = [1 1 1];
% 线性不等式约束
A = [-1 -2 0];
b = 1;
% 决策变量范围约束
lb = [0 -inf -inf];
% 调用函数求解
[x,fval] = fmincon(@fun,x0,A,b,[],[],lb,[],@nonlfun);
fval = -fval

%% fun函数部分
function f = fun(x)
    f = 2 * x(1) + 3 * x(1)^2 + 3 * x(2) + x(2)^2 + x(3);
    f = -f; % 最大值问题转化为最小值问题
end

%% nonlfun函数部分
function [c, ceq] = nonlfun(x)
    % 非线性不等式约束
    c = [x(1) + 2 * x(1)^2 + x(2) + 2 * x(2)^2 + x(3) - 10;
         x(1) + x(1)^2 + x(2) + x(2)^2 - x(3) - 50;
         2 * x(1) + x(1)^2 + 2 * x(2) + x(3) - 40;];
    % 非线性等式约束   
    ceq = x(1)^2 + x(3) - 2;
end

Salida MatLab

x =
          2.33333286682278         0.166667730107356         -3.44444226075484
fval =
          18.0833315976581

Ejemplo 4: Problema de cobertura

Código MatLab

%% 分析问题为 0-1规划 问题
clc;clear
c = ones(6, 1); % 目标函数的系数矩阵
intcon = (1:6); % 整数的位置为1-6
% 保证每一个小区被覆盖的次数 ≥ 1
A = -[1 1 1 0 0 0; % 只有B1 B2 B3 能覆盖A1
      0 1 0 1 0 0;
      0 0 1 0 1 0;
      0 0 0 1 0 1;
      1 1 1 0 0 0;
      0 0 0 0 1 1;
      1 0 0 0 0 0;
      0 1 0 1 0 1;];
b = -ones(8, 1);
% 通过上下限，构建 0-1 分布
lb = zeros(6, 1);
ub = ones(6, 1);
% 调用intlinprog()函数求最优解
[x,fval] = intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb,ub);
disp('建校方案为：');
for i = 1:6
    if(x(i)) == 1
        disp(['B', num2str(i)]);
    end
end
disp([ '最小建校地址数目：', num2str(fval)]);

Salida MatLab

建校方案为：
B1
B4
B5
最小建校地址数目：3