Luego, la Transformada de Fourier continuará describiéndose más tarde (aunque la Transformada de Fourier es muy desordenada), discuta la relación entre la Transformada de Laplace y la Transformada de Fourier
Se sabe que la transformada de Fourier se basa en la integral de Fourier. Además de satisfacer la condición de Dirichlet, una función también debe ser absolutamente integrable en el intervalo ( -∞ , + ∞ ), es decir, el valor de la integral no puede ser igual al infinito Grande
La integrabilidad absoluta es una condición muy fuerte, y algunas funciones muy simples (como funciones lineales, funciones seno y coseno, etc.) no satisfacen esta condición, por lo que la transformada de Fourier tiene los siguientes dos defectos
Uno: después de la introducción de la función delta, el alcance de la transformación de Fourier se ha ampliado mucho, de modo que la función de "aumento lento" también puede realizar la transformación de Fourier, pero aún no tiene poder para las funciones exponenciales y de crecimiento.
Dos: la transformación de Fourier debe definirse en todo el eje real, pero en ingeniería real, no existe un concepto de tiempo t <0, generalmente a partir de t = 0, solo se necesita la parte correspondiente a t> 0 Función.
Suponiendo que hay una función f (t) que satisface las condiciones de la transformada de Fourier, entonces hay una transformada de Fourier
$$
\ mathscr {L} \ left [f \ left (t \ right) \ right] = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {f \ left (t \ right) e ^ {- jwt} dt} \, \, \ text {式} 1
$$
Para resolver los dos defectos anteriores, la transformación de Fourier se puede procesar de la siguiente manera:
Para resolver el primer problema, podemos multiplicar la función f (t) por un factor de atenuación (una fracción muy pequeña) e -βt , y obtener f (t) e -βt .
Para resolver el segundo problema, podemos multiplicar la función f (t) por una función de paso unitario u (t), cuando t <0, u (t) = 0, y t (0), u (t) = 1
En resumen, se puede obtener f (t) u (t) e -βt , y luego se puede obtener la transformada de Fourier de f (t) u (t) e -βt :
$$
\ mathscr {L} \ left [f \ left (t \ right) \ right] = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {f \ left (t \ right) u \ left (t \ derecha) e ^ {- \ beta t} e ^ {-jwt} dt}
\\
\ text {Debido a que la función de paso unitario se multiplica} u \ left (t \ right) \ text {, se puede dividir en Dos \ text {cálculo parcial}
\\
\, \, \ int_0 ^ {+ \ infty} {f \ left (t \ right) * 1 * e ^ {- \ beta t} e ^ {-jwt} dt} = \ int_0 ^ {+ \ infty} {f \ left (t \ right) e ^ {- \ left (\ beta + jw \ right) t} dt}
\\
\, \, \ int _ {- \ infty} ^ 0 {f \ left (t \ right) * 0 * e ^ {- \ beta t} e ^ {-jwt} dt} = 0
\\
\ text {debido a (} 0 \ text {,} - \ infty \ text {）} Distrito \ text {integral entre puntos} = 0 \ text {, por lo que la transformada de Fourier de} f \ left (t \ right) \ text {se puede simplificar a \ text {como sigue}
\ \
\ mathscr {L} \ left [f \ left (t \ right) \ right] = \ int_0 ^ {+ \ infty} {f \ left (t \ right) e ^ {- \ left (\ beta + jw \ derecha) t} dt}
\\
\ text {令} - \ left (\ beta + jw \ right) = s \, \, \ text {puede obtener la fórmula de transformación de Laplace de} f \ left (t \ right) \ text {}
\\
F \ left (s \ right) = \ int_0 ^ {+ \ infty} {f \ left (t \ right) e ^ {-st} dt}
\\
\ text {称} F \ left (s \ right) es Transformada de Laplace de f \ left (t \ right) \ text {, recordar} como F \ left (s \ right) = \ mathscr {L} \ left [f \ left (t \ right) \ right] \ texto {. }
$$
Lo anterior es la relación entre la fórmula de transformación de Laplace y la transformación de Laplace y la transformación de Fourier.
Video de referencia: https://www.bilibili.com/video/BV16x411M7HR