Descripción general de la transformada de Fourier

Suplemento de conocimientos

1. Dominio del tiempo y dominio de la frecuencia:

1) Dominio del tiempo (dominio del tiempo): la variable independiente es el tiempo, es decir, el eje horizontal es el tiempo y el eje vertical es el cambio de señal. Su señal dinámica es una función que describe el valor de la señal en diferentes momentos.

2) Dominio de la frecuencia (dominio de la frecuencia): la variable independiente es la frecuencia, es decir, el eje horizontal es la frecuencia y el eje vertical es la amplitud de la señal de frecuencia, que comúnmente se denomina espectrograma.

3) El dominio de la frecuencia y el dominio del tiempo son en sí mismos simétricos, y existe una relación de restricción mutua: la señal continua en el dominio del tiempo corresponde a la aperiódica en el dominio de la frecuencia, y la discreta corresponde a la periódica; la periódica en el tiempo el dominio corresponde al discreto en el dominio de la frecuencia, y el aperiódico corresponde al continuo.

1. Serie de Fourier (serie de Fourier, FS)

Señal continua, periódica --> no periódica, discreta

Cualquier función periódica se puede representar mediante una serie infinita compuesta de funciones seno y coseno (las funciones seno y coseno se eligen como funciones base porque son ortogonales), y las generaciones posteriores llaman a la serie de Fourier Serie trigonométrica especial, según la fórmula de Euler. , las funciones trigonométricas se pueden transformar en forma exponencial, también conocida como serie de Fourier como una serie exponencial.

$f\izquierda ( t \derecha )=C_{1}\varphi _{1}\izquierda ( t \derecha )+C_{2}\varphi _{2}\izquierda ( t \derecha )+...+C_ {i}\varphi _{i}\left ( t \right )+...=\sum_{i=1}^{\infty }C_{i}\varphi _{i}\left ( t \right )$

La fórmula anterior se denomina expansión ortogonal de la función, también conocida como serie de Fourier generalizada.

Observaciones: $\varphi _{1}\left ( t \right ),\varphi _{2}\left ( t \right ),...,\varphi _{n}\left ( t \right )$ Es una función ortogonal.

Serie de Fourier de funciones periódicas

Las funciones ortogonales completas en un período $\left ( t_{0},t_{0}+T \right ),T=2\pi /\Omega$ son:

1) Funciones trigonométricas: $\left \{ 1,cos\left ( n\Omega \pi \right ),sin\left ( n\Omega \pi \right ),n=1,2,... \right \}$

2) Conjunto de funciones exponenciales imaginarias: $\left \{e^{jn\Omega t},n=1,2,... \right \}$

Supongamos que la función periódica f(t), el período es T, la frecuencia angular (la frecuencia fundamental) $\Omega =2\pi /T$ , cuando satisface la condición de Dirichlet, se puede expandir en una serie triangular de Fourier.

Conjunto completo de funciones ortogonales:

Condiciones de Dirichlet:

1) En un período, la función es continua o tiene solo un número limitado de puntos de discontinuidad del primer tipo (existen ambos límites alrededor del punto de discontinuidad);

2) En un ciclo, se debe limitar el número de valores máximos y mínimos de la función;

3) Dentro de un período, la función es absolutamente integrable.

2. Series de Fourier en tiempo discreto (DFS/DTFS)

discreto, periódico --> periódico, discreto

A diferencia de las señales periódicas de tiempo continuo, la serie de Fourier de señales periódicas de tiempo discreto es periódica. Para una señal periódica de tiempo discreto con un período de N, el espaciado de sus componentes de frecuencia es 1/N, y los componentes de frecuencia de la señal periódica de tiempo discreto solo necesitan valores N. Esta es la diferencia fundamental entre las series de Fourier para señales periódicas en tiempo continuo y señales periódicas en tiempo discreto. (Para obtener más información, consulte: DFS (Serie discreta de Fourier)_Enciclopedia de Baidu )

3. Transformada de Fourier (Transformada de Fourier, FT)

Continuo, aperiódico --> aperiódico, continuo

A partir del cambio de FS, la señal no periódica de tiempo continuo puede considerarse como el período de la señal periódica de tiempo continuo que tiende a infinito.En este momento, la frecuencia fundamental armónica discreta de frecuencia de la serie de Fourier (FS) tiende a ser infinitamente pequeño, y la frecuencia discreta se convierte en frecuencia continua. FS se ha convertido en FT.

4. Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)

Discreta, aperiódica, infinitamente larga --> periódica, continua

Transforma una función (señal en tiempo discreto) que toma como variable el tiempo discreto nT (donde T es el intervalo de muestreo) a un dominio de frecuencia continuo, es decir, genera un espectro continuo de esta señal en tiempo discreto. El espectro es periódico.

5. Transformada discreta de Fourier (DFT)

Discreto, aperiódico, longitud finita --> periódico, discreto

La transformada discreta de Fourier consiste en hacer una expansión periódica de la serie no periódica de longitud finita (en longitud discreta, periódica e infinita), y luego realizar una serie de Fourier en tiempo discreto para transformar el muestreo de la señal en el dominio del tiempo en un muestreo de dominio de frecuencia DTFT. Luego intercepte una definición periódica en la serie discreta de Fourier.

DTFT es para personas y DFT es para máquinas. ¿Dónde están las limitaciones de la máquina? Las máquinas no pueden expresar una secuencia infinitamente larga, ni pueden expresar características continuas en el dominio de la frecuencia. Para señales generales de tiempo discreto, es realmente bueno usar DTFT directamente, lo cual es muy conveniente para nosotros para analizar las características del dominio de frecuencia de la señal, pero el problema es que este conjunto de máquinas no se puede usar.

6. Transformada rápida de Fourier (FFT)

La transformada rápida de Fourier (transformada rápida de Fourier), es decir, el uso de computadoras para calcular la transformada discreta de Fourier (DFT) es un término general para los métodos de cálculo eficientes y rápidos, denominados FFT. La complejidad del tiempo es $O\izquierda (nlogn\derecha)$ .

FFT descompone la secuencia original de N puntos en una serie de secuencias cortas según las características pares, impares, imaginarias y reales de la transformada discreta de Fourier. Al hacer pleno uso de las propiedades simétricas y periódicas del factor exponencial en la fórmula de cálculo de DFT, las DFT correspondientes de estas secuencias cortas se obtienen y combinan adecuadamente, para lograr el propósito de eliminar cálculos repetidos, reducir las operaciones de multiplicación y simplificar el estructura.

Hay muchos algoritmos FFT y una breve introducción al algoritmo base 2:

1) $x\izquierda ( n \derecha )$ Descomponer la señal en dos subseñales

Señal de punto de muestra uniforme; $x\izquierda (2n\derecha)$

Señal de punto de muestra impar: $x\izquierda (2n+1 \derecha)$

2) Comprender los dos términos de suma como dos DFT de longitud n/2

3) El proceso de cálculo específico de FFT

(Para obtener más información, consulte: Aprenda la Transformada rápida de Fourier (Transformada rápida de Fourier) en una hora - Zhihu )

7. Transformada discreta de coseno (DCT)

Dado que muchas señales a procesar son señales reales, cuando se usa DFT, debido a la simetría conjugada de la transformada de Fourier de la señal real, existe la mitad de la redundancia de datos en el dominio de frecuencia después de DFT.

porque:

Función par * Función par = Función par

función impar * función impar = función impar

Cuando x[n] es una función par real:

$Im\left [ k \right ]=\sum_{n=0}^{N-1}x\left [ n \right ]sin\left ( kt \right )=0$

Entonces DFT se puede abreviar como:

$X\left [ k \right ]=\sum_{n=0}^{N-1}x\left [ n \right ]cos\left ( \frac{2\pi kn}{N}\right )$

Pero en realidad, no hay tantas señales pares reales, por lo que creemos que son creadas. La longitud de la señal se duplica a 2N, y para que la señal creada sea simétrica alrededor de 0, toda la señal extendida se desplaza hacia la derecha en 0,5 unidades, y la fórmula de transformación DCT final es:

(Para obtener más información, consulte: Transformada de coseno discreta detallada (DCT) - Zhihu )