[Números altos + funciones variables complejas] Propiedades de la transformada de Fourier

[Números altos + funciones variables complejas] Propiedades de la transformada de Fourier

Sección anterior:[Número alto + función de variable compleja] Transformada de Fourier

Revisión: En la sección anterior Transformada de Fourier, lo más importante es el concepto de Transformada de Fourier:
$$\begin{gathered} Cambio\; de\; Furi\; Kano：F(\omega )\; <\; /span>={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt，记为F(\omega )=F[f(t \\ Cambio\; inverso\; de\; Furi\; Kano:f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega ，记为)t(f=F^{-1}[F(\omega )] \end{gathered}$$
以及单位脉冲函数的定义及性质：
$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta \left(t\right)f\left(t\right)dt=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{d}_{\epsilon }\left(t\right)f\left(t\right)dt \\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }d\left(t-t_0\right)f\left(t\right)dt=f\left(t_0\right) \end{gathered}$$
Basado en el dominio del conocimiento anterior, en esta sección aprenderemos las propiedades comunes de la transformada de Fourier y las operaciones de convolución.

1. Propiedades comunes

1.1 Propiedades lineales

$$\begin{gathered} F\left[\begin{array}{c}\alpha f_1\left(t\right)+\beta f_2\left(t\right)\end{array}\right]=\alpha F_1\left(\omega \right)+\beta F_2\left(\omega \right) \\ {F}^{-1}\left[\alpha F_1\right(\omega )+\beta F_2(\omega \left)\right]=\alpha f_1\left(t\right)+\beta f_2\left(t\right). \end{gathered}$$

Simplemente sustituya la expresión lineal en la definición para derivar

1.2 Propiedades de desplazamiento

$$F\left[f\right(t\pm t_0)]={Es}^{\pm j\omega t_0}F\left(\omega \right)$$

Muestra la función del tiempo$f\left(t\right)$沿$t$Desplazamiento del eje hacia la izquierda y hacia la derecha (izquierda más derecha menos)$t_0$La transformada de Fourier de unidades es igual a$f\left(t\right)$'s变Factor de cambio${Es}^{\pm i\omega t_0}$

Especifica un continuo:
$$\begin{gathered} F\left[f\right(t\pm t_0)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t\pm t_0)e^{-j\omega t}dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(u\right)e^{-j\omega (u\mp t_0)}du（令u=t+t_0) \\ ={Es}^{\pm j\omega t_0}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(u){Es}^{-j\omega u}du={Es}^{\pm j\omega t_0}F\left(\omega \right) \end{gathered}$$

Por ejemplo:

Características del equivalente de la ecuación:$F\left[e^{-\beta t^2}\right]=\sqrt{\frac{\pi }{b}}{Es}^{-\frac{{Vaya}^2}{4\beta }}.$则$F\left[e^{-\beta (t-t_0{)}^2}\right]=\sqrt{\frac{\pi }{b}}{Es}^{-(j\omega t_0+\frac{{Vaya}^2}{4\beta })}.$

1.3 Propiedades diferenciales

como resultado$f\left(t\right)$existe$(-\infty ,+\infty )$ es continuo o tiene solo un número limitado de puntos discontinuos que se pueden eliminar , y cuando$|t|\to +\infty$时,$f\left(t\right)\to 0$则:
$$F\left[f^{\prime }\right(t\left)\right]=\text{j}\omega F\left[f\right(t\left)\right].$$

Después de sustituir en la fórmula de definición, se puede demostrar utilizando las propiedades de las integrales por partes que las condiciones anteriores son indispensables.

Inferencia: Si$F^{\left(k\right)}\left(t\right)$existir$(-\infty ,+\infty )$ es continuo o tiene solo un número limitado de puntos discontinuos que se pueden eliminar , y cuando$|t|\to +\infty$时,$F^{\left(k\right)}(t\to 0$则:
$$F\left[f^{\left(n\right)}\right(t=\left(j\omega {)}^{n}F\right[f(t)]$$
同样，设：$F\left[f\right(t=F\left(\omega \right)$,则
$$\frac{d^n}{d{\omega }^{norte}}F\left(\omega \right)=(-j{)}^{n}F\left[t^{n}f(t\right)$$

Directamente$Búsqueda\; de\; expansión\; de\; F\left(w\right)$ Inmediato confirmación.

En la práctica, la fórmula derivada de la función de imagen se utiliza a menudo para calcular$F\left[t^{n}f\left(t\right)\right]$.

1.4 Propiedades integrales

Kioto $t\to +\infty$ 时, $g\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{t}f\left(t\right)dt\to 0$, 那么
$$F\left[{\int }_{-\infty }^{t}f\left(t\right)dt\right]=\frac{1}{j\omega }F\left[f\right(t$$

证明：利用$F\left[\frac{d}{dt}{\int }_{-\infty }^{t}f\left(t\right)dt\right]$来过渡
$$F\left[f\right(t=F\left[\frac{d}{dt}{\int }_{-\infty }^{t}f\left(t\right)dt\right]=F\left[j\omega {\int }_{-\infty }^{t}f\left(t\right)dt\right]$$
所以$F\left[{\int }_{-\infty }^{t}f\left(t\right)dt\right]=\frac{1}{j\omega }F\left[f\right(t$

另：当 ${\mathrm{Lim}}_{t\to +\infty }g\left(t\right)\ne Cuando\; 0$, los resultados cambiarán, lo cual se discutirá después de aprender la convolución

1.5 Teorema del producto

$\begin{array}{rl}\text{ Joven }{M}_1\left(\omega \right)=& F\left[f_1\left(t\right)\right],F_2\left(\omega \right)=F\left[f_2\left(t\right)\right]\text{, 则 }\\ & {\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{F_1\left(t\right)}{F}_2\left(t\right)dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{F_1\left(\omega \right)}{F}_2\left(\omega \right)d\omega \\ & {\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1\left(t\right)\overline{F_2\left(t\right)}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1\left(\omega \right)\overline{F_2\left(\omega \right)}d\omega ,\end{array}$

Determina la ecuación para la ecuación cuantitativa:
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{F_1\left(t\right)}{F}_2\left(t\right)dt& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{F_1\left(t\right)}\left[\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_2\left(\omega \right)e^{i\omega t}d\omega \right]dt\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_2\left(\omega \right)\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{F_1\left(t\right)}{Es}^{i\omega t}dt\right]d\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_2\left(\omega \right)\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{F_1\left(t\right)e^{-i\omega t}}dt\right]d\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_2\left(\omega \right)\overline{F_1\left(\omega \right)}d\omega \end{array}$$

1.6 Integración Energética

设 $F\left(\omega \right)=F\left[f\right(t$

则：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[f\right(t){}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }|F\left(\omega \right){}^{2}d\omega$$

En el teorema del producto, las dos ecuaciones son iguales, lo cual es 2

2. Convolución

Supongamos que la función $F_1\left(t\right)$ y $F_2\left(t\right)$ mayúscula $(-\infty ,+\infty )$ arriba de la función absolutamente posible, 积parte
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1\left(\tau \right)f_2(t-\tau )d\tau$$
称为函数 $F_1\left(t\right)$ y $F_2\left(t\right)$ barrio $(-\infty ,+\infty )$ 上的卷积，记为 $\left(f_1\ast F_2\right)\left(t\right)$ 或 $F_1\left(t\right)\ast F_2\left(t\right)$

2.1 Operación de convolución

1. 分得律 $F_1\left(t\right)\ast F_2\left(t\right)=F_2\left(t\right)\ast F_1\left(t\right)$.

   Se puede demostrar sustituyendo variables.

2. 结合律 $\left[f_1\left(t\right)\ast F_2\left(t\right)\right]\ast F_3\left(t\right)=F_1\left(t\right)\ast \left[f_2\left(t\right)\ast F_3\left(t\right)\right]$

3. 分配律 $F_1\left(t\right)\ast \left[f_2\left(t\right)+F_3\left(t\right)\right]=F_1\left(t\right)\ast F_2\left(t\right)+F_1\left(t\right)\ast F_3\left(t\right)$

   Se puede demostrar ampliando la definición.

   Las siguientes cuatro propiedades son sólo para comprender

4. 卷积的数乘
   $a\left[f_1\left(t\right)\ast F_2\left(t\right)\right]=\left[a{f}_1\left(t\right)\right]\ast F_2\left(t\right)=F_1\left(t\right)\ast \left[a{f}_2\left(t\right)\right](a$ constante);

5. Diferenciación de convolución

$$\frac{d}{dt}\left[f_1\left(t\right)\ast F_2\left(t\right)\right]=\frac{d}{dt}{F}_1\left(t\right)\ast F_2\left(t\right)=F_1\left(t\right)\ast \frac{d}{dt}{F}_2\left(t\right);$$

6. 卷积的积分
   $${\int }_{-\infty }^t\left[f_1\left(\xi \right)\ast F_2\left(\xi \right)\right]d\xi =F_1\left(t\right)\ast {\int }_{-\infty }^t{F}_2\left(\xi \right)d\xi ={\int }_{-\infty }^t{F}_1\left(\xi \right)d\xi \ast F_2\left(t\right)$$
7. Para la convolución, también existe la siguiente desigualdad

$$|f_1(t)\ast F_2(t)|⩽|f_1(t)|\ast |f_2(t)|$$

2.2 Aplicaciones informáticas

1. Convolución con función de impulso unitario
   $$\begin{array}{rl}& f\left(t\right)\ast \delta \left(t\right)\\ =& {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)\delta (t-x)dx\\ =& {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)\delta (x-t)dx\\ =& f\left(t\right)Características)\end{array}$$

2. 如果 $t<0$ 时, $F_1\left(t\right)=0,F_2\left(t\right)=0$, 则卷积变为
   $$\begin{array}{rl}f\left(t\right)& =\left(f_1\ast F_2\right)\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1\left(\tau \right)f_2(t-\tau )d\tau \\ & ={\int }_{-\infty }^0+{\int }_0^t{F}_1\left(\tau \right)f_2(t-\tau )d\tau +{\int }_t^{+\infty }={\int }_0^t{F}_1\left(\tau \right)f_2(t-\tau )d\tau \end{array}$$

例 求函数 $F_1\left(t\right)=\{\begin{array}{l}0,t<0\\ t,t>0\end{array}$ y $F_2\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ \mathrm{pecado}t,& t>0\end{array}$ 目卷积.
Solución

Podemos usar la Figura 1-14(a) y (b) para expresar $F_1\left(\tau \right)$ 和 $F_2(t-\tau )$ 的图形, 当 $t<0$ 时, $F_1\left(\tau \right)f_2(t-\tau )=0$;而 $F_1\left(\tau \right)f_2(t-\tau )\ne 0$ Área objetivo $1-14$ 中可艻buscar, existir $t⩾0$ tiempo, 为 $[0,t]$所以
$$\begin{array}{rl}{F}_1\left(t\right)\ast F_2\left(t\right)& ={\int }_0^{t}t\mathrm{pecado}(t-\tau )d\tau \\ & ={t\cos (t-\tau )|}_0^t-{\int }_0^t\cos (t-\tau )d\tau \\ & =t-\mathrm{pecado}t\end{array}$$

2.3 Teorema de convolución

设$F_1\left(\omega \right)=F\left[f_1\left(t\right)\right],F_2\left(\omega \right)=F\left[f_2\left(t\right)\right]$，则
$$F\left[\left(f_1\ast F_2\right)\left(t\right)\right]=F_1\left(\omega \right)F_2\left(\omega \right)$$

probar:

$\begin{array}{rl}F\left[f_1\left(t\right)\ast F_2\left(t\right)\right]& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[f_1\left(t\right)\ast F_2\left(t\right)\right]{Es}^{-j\omega t}dt\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1\left(\tau \right)f_2(t-\tau )d\tau \right]{Es}^{-j\omega t}dt\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1\left(\tau \right)e^{-j\omega \tau }{f}_2(t-\tau )e^{-j\omega (-\tau )}d\tau d\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1\left(\tau \right)e^{-j\omega \tau }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_2(t-\tau )e^{-j\omega (t-\tau )}d(-\tau )\right]d\tau \\ & =F_1\left(\omega \right)\cdot F_2\left(\omega \right)\end{array}$

La simetría también existe (no comprobada):
$$F\left[f_1\left(t\right)\cdot F_2\left(t\right)\right]=\frac{1}{2\pi }{F}_1\left(\omega \right)\ast F_2\left(\omega \right),$$
推广：
$$\begin{array}{c}F\left[f_1\left(t\right)\ast F_2\left(t\right)\ast \cdots \ast F_n\left(t\right)\right]=F_1\left(\omega \right)\cdot F_2\left(\omega \right)\cdot \cdots \cdot F_n\left(\omega \right),\\ F\left[f_1\left(t\right)\cdot F_2\left(t\right)\cdot \cdots \cdot F_n\left(t\right)\right]=\frac{1}{(2\pi {)}^{n-1}}{F}_1\left(\omega \right)\ast F_2\left(\omega \right)\ast \cdots \ast F_n\left(\omega \right).\end{array}$$

3. Funciones relacionadas*

Para dos funciones diferentes $F_1\left(t\right)$ y $F_2\left(t\right)$, 称积分
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1\left(t\right)f_2(t+\tau )dt$$
为两个函数 < /span>$F_1\left(t\right)$ y $F_{2}Función\; recíproca\; de\; (t)$, nombre de uso $R_{12}\left(\tau \right)$ 表示，而积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1(t+\tau )f_2\left(t\right)dt$ Registro $R_{21}\left(\tau \right)$

当 $F_1\left(t\right)=F_2\left(t\right)=f\left(t\right)$ 时, 称积分< /span>
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(t\right)f(t+\tau )dt$$
为函数 $La\; función\; de\; autocorrelación\; de\; f\left(t\right)$ ( Conocida como función de correlación). Utilice la notación $R\left(\tau \right)$ 表示。

naturaleza:

• $R(-\tau )=R\left(\tau \right)$.

  Definición y sustitución de variables para demostrar.

• $R_{21}\left(\tau \right)=R_{12}(-\tau )$