[Notas sobre funciones complejas] Transformada de Fourier y transformada de Laplace

1. Definición de transformada de Fourier y transformada de Laplace

1. Integral de Fourier

Teorema de la integral de Fourier Si $f\left(t\right)$ en$(-\infty ,\_+\infty )$ satisface las siguientes condiciones:
(1)$f\left(t\right)$ satisface la condición de Dirichlet en cualquier intervalo finito (continuo o solo un número limitado de puntos discontinuos del primer tipo; solo un número limitado de puntos extremos); (2)
f$f\left(t\right)$ en el intervalo infinito$(-\infty ,\_+\infty )$ es absolutamente integrable (es decir, la integral${\int }_{-\infty }^{+}|f(t)|dt$ ecuación), y si$$f\left(t\right)=\frac{}{14:00\_}{\int }_{-\infty }^{+}\left[{\int }_{-\infty }^{+}f\left(\tau \right){mi}^{-yo\; \omega \tau }re\tau \right]{mi}^{i\omega t}d\omega$$f ( t ) f(t)a la izquierda$f\left(t\right)$ debe ser f ( t + 0 ) + f ( t − 0 ) 2 \frac{f(t+0)+f(t-0)}{2}en su punto de discontinuidad$\frac{f(t+0)+f(t-0}{2}$(valores medios extremos izquierdo y derecho) en su lugar.

2. Transformada de Fourier

Transformada de Fourier : si $f\left(t\right)$ en$(-\infty ,\_+\infty )$ satisfacen las condiciones de la integral de Fourier, entonces la función$$F\left(\omega \right)=F\left[f\right(t)]={\int }_{-\infty }^{+}f\left(t\right){mi}^{-yo\omega t}ret$$es$La\; transformada\; de\; Fourier\; de\; f\left(t\right)$ y la función$$f\left(t\right)=F^{-1}\left[F\right(\omega )]=\frac{}{14:00\_}{\int }_{-\infty }^{+}F\left(\omega \right){mi}^{yo\omega t}re\omega \phi F$$(ω ) F(\omega)Transformada inversa de Fourier de$F$$($$\omega$$)\; .$

3. Función de impulso unitario y función de escalón unitario

Función de impulso unitario : $$re\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}+\infty ,& t=0\\ 0& t\ne \end{array}$$Esta es una declaración imprecisa, y una declaración rigurosa requiere el uso de límites débiles. Esta función satisface $${\int }_{-\infty }^{+}\delta \left(t\right)ret=1$$ Si$f\left(t\right)$ es una función infinitamente diferenciable, entonces existe$${\int }_{-\infty }^{+}\delta \left(t\right)f\left(t\right)ret=f\left(0\right)$$$\delta \left(t\right)$ es una función par, que satisface$\delta \left(unt\right)=\frac{}{|un|}\delta \left(t\right)$（$a\ne 0$），且$${\int }_{-\infty }^{+}{d}^{\left(n\right)}(t-t_{})f\left(t\right)ret={(-1)\_}^{norte}{f}^{\left(n\right)}\left(t_{}\right)$$ (esto se demuestra por integración por partes). En particular,$${\int }_{-\infty }^{+}{d}^{\prime }\left(t\right)f\left(t\right)ret=-f^{\prime }\left(0\right)$$

Función escalón unitario : $$tu\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}1,& t>0\\ 0& t<\end{array}$$成动$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{}re\left(t\right)ret=tu\left(t\right) \\ \frac{}{dt\_}tu\left(t\right)=re\left(t\right) \end{gathered}$$

4. Transformada de Laplace

Transformada de Laplace : Sea la función $f\left(t\right)$在$t\ge 0$ está definido y la integral${\int }_0^{+}f\left(t\right){mi}^{-st}dt$en el plano complejossLa convergencia en un área determinada de$s$$$F\left(s\right)=L\left[f\right(t)]={\int }_0^{+}f\left(t\right){mi}^{-st}ret$$esf ( t ) f(t)La transformada de Laplace (o función imagen) de$f$$($$t$$)$$f\left(t\right)$ es$La\; transformada\; inversa\; de\; Laplace\; de\; F\left(s\right)$ (o llamada función original), registrada como$$f\left(t\right)=L^{-1}\left[F\right(s)]$$edad joven$s=b+i\omega$ ,则$L\left[f\right(t)]=F\left[f\right(t\left)tu\right(t\left){mi}^{-\beta t}\right]$. Esta es la relación entre la transformada de Laplace y la transformada de Fourier.

El teorema de existencia de la transformada de Laplace Si la función $f\left(t\right)$ satisface las siguientes condiciones:
(1) En$t\ge 0$ continuo o continuo a trozos en cualquier intervalo finito;
(2) cuando$t\to +\infty$ ,$La\; tasa\; de\; crecimiento\; de\; f\left(t\right)$ no supera una determinada función exponencial, es decir, existe$METRO>0$和$C\ge 0$使得$$|f(t)|\le yo{\_}^{ct},\forall t\in [0,+\infty )$$ entoncesf ( t ) f(t)Transformada de Laplace de$f$$($$t$$)$$F\left(s\right)={\int }_0^{+}f\left(t\right){mi}^{-st}ret$en el semiplano$\mathrm{Re}\left(s\right)>Debe\; existir\; en\; c$ , y la integral de la derecha está en$\mathrm{Re}\left(s\right)\ge C_{}>$Absolutamente convergente y uniformemente convergente en$c$$\mathrm{Re}\left(s\right)>En\; el\; semiplano\; de\; c$ ,$F\left(s\right)$ es una función analítica. $c$ se llama$El\; exponente\; de\; crecimiento\; de\; f\left(t\right)$ .

2. Transformada de Fourier y transformada de Laplace de funciones comunes

Como función primitiva $f\left(t\right)$	Transformada de Fourier	Transformada de Laplace
$1$	$2pd\left(o\right)$	-
$re\left(t\right)$	$1$	$1$
$tu\left(t\right)$	$\frac{}{yo}+pd\left(o\right)\_$	$\frac{}{s}$
$t^{norte}$	$2\pi {yo}^{norte}{\_}^{\left(n\right)}\left(o\right)$	$\frac{C(norte+1}{s^{(norte+1)}}(n>-1)$ (cuandonnCuando$n$$\frac{n}{s^{norte+1}}$）
$\mathrm{porque}{Vaya}_{}t$	$pag\left[re\right(o+{Vaya}_{})+d(o-{Vaya}_{})]$	$\frac{}{s^2+{Vaya}_0^{}}$(requisitosω ${Vaya}_{}\in R$）
$\mathrm{pecado}{Vaya}_{}t$	$i\pi \left[re\right(o+{Vaya}_{})-d(o-{Vaya}_{})]$	$\frac{{Vaya}_{}}{s^2+{Vaya}_0^{}}$(requisitosω ${Vaya}_{}\in R$）
${mi}^{-\beta t}tu\left(t\right)$	$\frac{}{b+yo}(segundo>0)$	$\frac{}{s+b}$

3. Propiedades de la transformada de Fourier y la transformada de Laplace

令$F\left(\omega \right)=F\left[f\right(t)]$，$F\left(s\right)=L\left[f\right(t)]$。

naturaleza	Transformada de Fourier	Transformada de Laplace
propiedades lineales	$F\left[un{f}_{}\right(t)+bf{\_}_{}(t)]=unaF\left[f_{}\right(t)]+bF\left[f_{}\right(t)]$	$L\left[una{f}_{}\right(t)+bf{\_}_{}(t)]=unaL\left[f_{}\right(t)]+bL\left[f_{}\right(t)]$
Semejanza	$F\left[f\right(unt)]=\frac{}{|un|}F\left(\frac{}{a}\right)$	$L\left[f\right(unt)]=\frac{}{a}F\left(\frac{}{a}\right)$（$a>0$）
Propiedades simétricas	$F\left[F\right(\omega )]=2\pi F(-t)$
Propiedades diferenciales	$F\left[f^{\prime }\right(t)]=yo\omega F\left[f\right(t)]$ $F\left[f^{\left(n\right)}\right(t)]={\left(yo\right)}^{norte}F\left[f\right(t)]$	$L\left[f^{\prime }\right(t)]=sF\left(s\right)-F\left(0\right)$ $L\left[f^{\left(n\right)}\right(t)]=s^{nF}\left(s\right)\_-s^{norte-1}F\left(0\right)-\cdots -F^{(norte-1)}\left(0\right)$
象函数的微分性质	$\mathcal{F}[tf(t)]=i{F}^{\prime }(\omega )$ $\mathcal{F}[t^{n}f(t)]=i^n{F}^{(n)}(\omega )$	$\mathcal{L}[tf(t)]=-F^{\prime }(s)$ $\mathcal{L}[t^{n}f(t)]={(-1)}^n{F}^{(n)}(s)$
位移性质	$\mathcal{F}[f(t+t_0)]=e^{i\omega t_0}\mathcal{F}[f(t)]$	$\mathcal{L}[f(t+t_0)]=e^{s{t}_0}\mathcal{L}[f(t)]$（要求$t_0<0$）
象函数的位移性质	$\mathcal{F}[e^{i{\omega }_{0}t}f(t)]=F(\omega -{\omega }_0)$	$\mathcal{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a)$（要求$\mathrm{Re}(s-a)>s_0$，其中$s_0$是$f(t)$的增长指数）
积分性质	$\mathcal{F}\left[{\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )\mathrm{d}\tau \right]=\frac{1}{i\omega }F(\omega )+\pi F(0)\delta (\omega )$	$\mathcal{L}[{\int }_0^{t}f(\tau )\mathrm{d}\tau ]=\frac{1}{s}F(s)$
象函数的积分性质		$\mathcal{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right]={\int }_s^{\infty }F(s)\mathrm{d}s$
卷积定理	$\mathcal{F}[f_1(t)\ast f_2(t)]=\mathcal{F}[f_1(t)]\cdot \mathcal{F}[f_2(t)]$ $\mathcal{F}[f_1(t)\cdot f_2(t)]=\frac{1}{2\pi }\mathcal{F}[f_1(t)]\ast \mathcal{F}[f_2(t)]$	$\mathcal{L}[f_1(t)\ast f_2(t)]=\mathcal{L}[f_1(t)]\cdot \mathcal{L}[f_2(t)]$
乘积定理	令$F_1(\omega )=\mathcal{F}[f_1(t)]$，$F_2(\omega )=\mathcal{F}[f_2(t)]$，则 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{f_1(t)}{f}_2(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{F_1(\omega )}{F}_2(\omega )\mathrm{d}\omega$ ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(t)\overline{f_2(t)}\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1(\omega )\overline{F_2(\omega )}\mathrm{d}\omega$
能量积分	帕西瓦尔等式： ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{[f(t)]}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{|F(\omega )|}^2\mathrm{d}\omega$
初值定理		$f(0)=\underset{s\to \infty }{\lim }sF(s)$（若这个极限存在）
终值定理		$\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$ （要求$sF(s)$的所有奇点都在$s$平面的左半部）

四、拉普拉斯逆变换

由于$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\mathcal{F}[f(t)u(t)e^{-\beta t}]$（$s=\beta +i\omega$），我们有$$\begin{gathered} \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\beta +i\omega )e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega =f(t)u(t)e^{-\beta t} \\ f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\beta +i\omega )e^{(\beta +i\omega )t}\mathrm{d}\omega \end{gathered}$$注意到$\mathrm{d}s=i\mathrm{d}\omega$，我们把积分写出复变函数的积分：$$f(t)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\beta -i\infty }^{\beta +i\infty }F(s)e^{st}\mathrm{d}s$$下面我们通过留数来计算这个积分。

定理 设$s_1,s_2,\cdots ,s_l$是$F(s)$的所有孤立奇点（有限个），除这些点外，$F(s)$处处解析。且存在$R_0>0$，使得当$|s|>R_0$时，$|F(s)|\le M(r)$，其中$M(r)$是$r$的实函数，满足$\underset{r\to +\infty }{\lim }M(r)=0$（即当$s\to \infty$时，$F(s)\to 0$）。选取$\beta$，使所有孤立奇点的实部都小于$\beta$，则当$t>0$时，$$f(t)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\beta -i\infty }^{\beta +i\infty }F(s)e^{st}\mathrm{d}s=\sum _{k=1}^l\mathrm{Res}[F(s)e^{st},s_k]$$