Razonamiento y aplicación de la relación entre la serie de Fourier y la transformada de Fourier

Las series de Fourier y la transformada de Fourier son dos herramientas principales del análisis de Fourier y existe una estrecha relación entre ellas.

¿Qué es una serie de Fourier?

Una serie de Fourier es la descomposición de una función periódica en una serie de funciones seno y coseno. Es adecuado para señales periódicas y una función periódica se puede expresar como la suma de un conjunto de componentes armónicos con diferentes amplitudes y fases. Una serie de Fourier muestra el contenido espectral de una función periódica a diferentes frecuencias. Es demasiado pedante decir esto, y las personas que recién se están poniendo en contacto pueden sentirse mareadas cuando ven esto...

Entonces, ¿qué es exactamente una serie de Fourier?

Cebador:

Normalmente entendemos más puntos en el plano, un número A, podemos encontrar algunos números B, C combinación lineal es igual a A, $A = k_1 B+k_2C$ _ $k_1, k_2 son constantes$ es $una constante$ Haremos $k_1,k_2$ Reescribe, $A = B x + C y$ , se convierte en nuestra forma familiar. Un sistema de coordenadas ortogonales puede describir cualquier punto en el plano.

Se puede encontrar un conjunto de x e y ortogonales en el sistema de coordenadas planas para ajustar A linealmente. ¿Qué pasa si A no representa un número sino una función? ¿Es posible encontrar un sistema ortogonal similar x, y? Pero, ¿qué es un conjunto de sistemas ortogonales para una función?

¿Qué pasa con las funciones periódicas? ¿Pero la función periódica tiene infinitos puntos? ¿Qué usar para ajustarla? Es posible que hayas visto este problema en este momento y ya tienes algunas pequeñas ideas en tu corazón, que es encontrar un conjunto de funciones periódicas de línea que encajen.

El viejo Fourier lo encontró y nos ayudó a encontrarlo, ¡es la siguiente función trigonométrica! ! ! ! ! ! !
$\cos(x), \ sin(x), \cos(2x), \sin(2x), ..., \cos(nx), \sin(nx)$ , ... se llama el sistema de funciones trigonométricas.

La serie de Fourier se puede expresar mediante la siguiente fórmula:

$f_T(x) = \frac{a_0}{2 } + \sum_{n=1}^{N} \left(a_n \cos\left(\frac{2\pi n}{T}x\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T}x\right)\right)$

Es más fácil de entender desenrollando:

$f(x_0)= \frac{a_0} {2}+a_1\cos\left(\frac{2\pi n_1}{T}x_0\right) + b_1 \sin\left(\frac{2\pi n_1 }{T}x_0\right) +a_2\ cos\left(\frac{2\pi n_2}{T}x_0\right) + b_2 \sin\left(\frac{2\pi n_2}{T}x_0\right) \\ +\dots \\ +a_N \cos\left(\frac{2\pi N}{T}x_0\right) + N \sin\left(\frac{2\pi N}{T}x_0\right)$

$f(x_1)= \frac{a_0} {2}+a_1\cos\left(\frac{2\pi n_1}{T}x_1\right) + b_1 \sin\left(\frac{2\pi n_1 }{T}x_1\right) +a_2\ cos\left(\frac{2\pi n_2}{T}x_1\right) + b_2 \sin\left(\frac{2\pi n_2}{T}x_1\right) \\ +\dots \\ +a_N \cos\left(\frac{2\pi N}{T}x_1\right) + N \sin\left(\frac{2\pi N}{T}x_1\right)$

$f(x_2)= \frac{a_0} {2}+a_1\cos\left(\frac{2\pi n_1}{T}x_2\right) + b_1 \sin\left(\frac{2\pi n_1 }{T}x_2\right) +a_2\ cos\left(\frac{2\pi n_2}{T}x_2\right) + b_2 \sin\left(\frac{2\pi n_2}{T}x_2\right) \\ +\dots \\ +a_N \cos\left(\frac{2\pi N}{T}x_2\right) + N \sin\left(\frac{2\pi N}{T}x_2\right)$

$\vdots$

$f(x_N)= \frac{a_0} {2}+a_1\cos\left(\frac{2\pi n_1}{T}x_N\right) + b_1 \sin\left(\frac{2\pi n_1 }{T}x_N\right) +a_2\ cos\left(\frac{2\pi n_2}{T}x_N\right) + b_2 \sin\left(\frac{2\pi n_2}{T}x_N\right) \\ +\dots \\ +a_N \cos\left(\frac{2\pi N}{T}x_N\right) + N \sin\left(\frac{2\pi N}{T}x_N\right)$

El concepto de síntesis aquí es el concepto de superposición en el dominio del tiempo, la imagen proviene de wikipedia

Compuesto dinámico

donde $f (x)$ es el periodofunción de $T$ $a_0$ es el componente DC (valor medio), $a_n$ y $b_n$ es el coeficiente de Fourier, lo que significa que a una frecuencia de $\frac{2\pi n}{T}$ La amplitud de las funciones seno y coseno de . Esta fórmula expresa la función periódica $f (x)$ se puede aproximar mediante la suma de una serie de funciones seno y coseno de diferentes frecuencias.

3dft

Por favor agregue una descripción de la imagen

¿Por qué se puede expandir así?

La demostración de la serie de Fourier es un proceso relativamente complicado que involucra análisis matemático y la teoría de la transformada de Fourier. Aquí proporcionaré una breve descripción de la idea básica y las ideas de prueba de la serie de Fourier.
La demostración de la serie de Fourier se basa en las siguientes dos ideas principales:

Ortogonalidad: las series de Fourier aprovechan la propiedad de ortogonalidad de las funciones trigonométricas. Las funciones seno y coseno son ortogonales dentro de un período, es decir, sus productos internos son cero a diferentes frecuencias y distintos de cero a la misma frecuencia. Esto significa que las funciones de seno y coseno de diferentes frecuencias son funciones de base linealmente independientes y se pueden usar para representar componentes de diferentes frecuencias.
Aproximación: Otra idea clave de las series de Fourier es el concepto de funciones de aproximación. Según el teorema de aproximación, cualquier función periódica con energía finita puede aproximarse mediante un número infinito de combinaciones lineales de funciones seno y coseno. Al aumentar la amplitud y la fase de las funciones seno y coseno, uno puede acercarse más y más a la función original.

Con base en estas dos ideas, el proceso de prueba de la serie de Fourier se puede resumir en los siguientes pasos: Primero, consideramos una función f(x) con período T. Mostraremos que se puede representar como la suma de una serie de funciones seno y coseno. Supongamos que f(x) se puede expresar como una serie de la siguiente forma:
$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(\omega_n x) + b_n \sin(\omega_n x))$
Entre ellos, $a_0$ 、 $a_n$ 、 $b_n$ es el coeficiente indeterminado, $\omega_n$ es la frecuencia.

A continuación, usaremos la propiedad de ortogonalidad para calcular los coeficientes individuales. Produciendo internamente f(x) con las funciones seno y coseno, y usando la propiedad de ortogonalidad, podemos obtener expresiones para los coeficientes individuales.

Calculando el producto interior, podemos obtener la siguiente fórmula

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f( x) \cos(\omega_n x)dx, \omega_n = 0$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(\ omega_n x) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(\ omega_n x) dx$

$\omega_n = \frac{2\pi n}{T}$

Entre ellos, $a_0$ es el componente DC, $a_n$ y $b_n$ es la frecuencia $\omega_n$ Las amplitudes de los componentes coseno y seno de .

Por la fórmula de Euler:

$\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$

$\sin\theta =-i \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}$

La siguiente prueba es un extracto del libro de texto sobre funciones de variables complejas y transformaciones integrales:

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inserte la descripción de la imagen aquí

$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$

Es la transformada de Fourier.

¿Qué es la transformada de Fourier?

La transformada de Fourier es la descomposición de una función o señal no periódica en un conjunto de integrales continuas de funciones seno y coseno (funciones exponenciales complejas). La transformada de Fourier convierte una función en el dominio del tiempo en una función en el dominio de la frecuencia, mostrando las características espectrales de la señal a diferentes frecuencias.

$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$
$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{ j\omega t}d\omega$

$f_T(x) = \frac{a_0}{2 } + \sum_{n=1}^{N} \left(a_n \cos\left(\frac{2\pi n}{T}x\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T}x\right)\right)$

La relación entre ambos se puede expresar de la siguiente manera:

傅里叶级数是傅立叶变换的一种特殊情况。当一个周期为T的函数被表示为傅里叶级数时，其傅立叶变换是一个离散的频谱，只包含一系列离散的频率分量。

对于一个连续非周期函数，傅立叶变换将其表示为一个连续的频谱，包含了所有可能的频率分量。这相当于将傅里叶级数中的频率分量离散化为连续的频谱。

傅立叶变换可以视为傅里叶级数的极限情况，当周期趋向于无穷大时，傅里叶级数的频率间隔趋向于零，从而得到了连续的频谱。

En general, la serie de Fourier y la transformada de Fourier son dos métodos de representación del análisis de Fourier, se pueden convertir entre sí, pero son adecuados para diferentes categorías de funciones y requisitos de análisis. La serie de Fourier es adecuada para el análisis espectral de funciones periódicas, mientras que la transformada de Fourier es adecuada para el análisis espectral de funciones no periódicas.

Transformada rápida de Fourier FFT

definición DFT:

$X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_ne^{-i \frac{2\pi n}{N}k}，k = 0,1,\dots,N-1$

Ampliar cada uno:

$X_0=x_0e ^{-i\frac{2\pi 0}{N}k}+x_1e^{-i\frac{2\pi 1}{N}k}+\dots+x_{N-1}e^{- i\frac{2\pi (N-1)}{N}k},k=0$
$X_1= x_0e^{-i\frac{2\pi 0}{N}k}+x_1e^{-i\frac{2\pi 1}{N}k}+\dots+x_{N-1}e^{ -i\frac{2\pi (N-1)}{N}k},k=1$
$\puntos$
$X_{N-1}=x_0e^{-i\frac{2\pi 0}{N}k}+x_1e^{-i\frac{2\pi 1}{N}k}+\dots+x_ {N-1}e^{-i\frac{2\pi (N-1)}{N}k},k=N-1$

¿Todavía no es lo suficientemente intuitivo? Veamos un ejemplo de datos discretos:

$x_0 = 1$
$x_1 = 2$
$3x_3 = 3$
$4x_4 = 4$
$X_0=x_0e^{-i\frac{2\pi 0}{N}k}+x_1e^{-i\frac{2\pi 1}{N}k}+\dots+x_{N-1 }e^{-i\frac{2\pi (N-1)}{N}k},k=0,N=4$
$X_1=x_0e^{-i\frac{2\pi 0}{N}k}+x_1e^{-i\frac{2\pi 1}{N}k}+\dots+x_{N-1 }e^{-i\frac{2\pi (N-1)}{N}k},k=1,N=4$
$X_2=x_0e^{-i\frac{2\pi 0}{N}k}+x_1e^{-i\frac{2\pi 1}{N}k}+\dots+x_{N-1 }e^{-i\frac{2\pi (N-1)}{N}k},k=2,N=4$
$X_3=x_0e^{-i\frac{2\pi 0}{N}k}+x_1e^{-i\frac{2\pi 1}{N}k}+\dots+x_{N-1 }e^{-i\frac{2\pi (N-1)}{N}k},k=3,N=4$

$X_0=1e^{-i\frac{2\pi 0}{4}0}+2e^{-i\frac{2\pi 1}{4}0}+3e^{-i\frac{2 \pi (2)}{4}0}+4e^{-i\frac{2\pi (3)}{4}0}=10+0i$
$X_1=1e^{-i\frac{2\pi 0}{4}1}+2e^{-i\frac{2\pi 1}{4}1}+3e^{-i\ fracción{2\pi (2)}{4}1}+4e^{-i\frac{2\pi (3)}{4}1}=-2+2i$
$X_2=1e^{-i\frac{2\pi 0}{4}2}+2e^{-i\frac{2\pi 1}{4}2}+3e^{-i\ fracción{2\pi (2)}{4}2}+4e^{-i\frac{2\pi (3)}{4}2}=-2+0i$
$X_3=1e^{-i\frac{2\pi 0}{4}3}+2e^{-i\frac{2\pi 1}{4}3}+3e^{-i\frac{2\pi (2)}{4}3}+4e^{-i\frac{2\pi (3)}{4}3}=-2-2i$

令： $e^{\frac{-i2\pi}{N}}$
Escriba este caso en forma matricial:
$\begin{bmatrix} X_0 \\ X_1 \\ X_2 \\ X_3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 &1 &1 \\ 1 &w&w^2&w^3 \\ 1 &w^ 2 & w^4 &w^6 \\ 1 & w^3 & w^6 & w^9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$
Para completar la DFT de 4 puntos se necesitan calcular 16 multiplicaciones, es decir, cada elemento de la matriz F participará en una multiplicación, en total 4 elementos, 12 sumas, es decir, se requieren 3 sumas por cada punto completado . Hasta ahora, DFT finalmente se ha entendido, pero el cálculo es demasiado complicado y la eficiencia es demasiado baja. Cuanto más grandes sean los datos, mayor será la cantidad de cálculo. FFT apareció para resolver el problema de la gran cantidad de cálculo.

$e^{\frac{-i2\pi}{N}}$ Con simetría, este es el método de cálculo de la simplificación FFT, a saber:
$W_N^{k+\frac{N}{2}} = -W_N^k$

$X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_ne^{-i\frac{2\pi n}{N}k }$

Escríbelo de nuevo para profundizar la impresión: $e^{\frac{-i2\pi}{N}}$

$X_k = \sum_{n=0}^{N-1}{x_nw^{nk}}$

Mirando esta fórmula nuevamente, el cambio es el valor de la señal multiplicado por el número complejo correspondiente $ke^{-i\frac{2\pi n}{N}k}$ busca acumular de nuevo.
Según la simetría, se puede simplificar el cálculo de Fourier, que es el significado de FFT.

Divide y conquistaras

Escriba la fórmula anterior nuevamente, profundizará la impresión, ¡tan agotador! ! ! ! !

Ejemplo: $e^{\frac{-i2\pi}{N}}$

$X_0=1e^{-i\frac{2\pi 0}{4}0}+2e^{-i\frac{2\pi 1}{4}0}+3e^{-i\frac{2 \pi (2)}{4}0}+4e^{-i\frac{2\pi (3)}{4}0}=10+0i$
$X_1=1e^{-i\frac{2\pi 0}{4}1}+2e^{-i\frac{2\pi 1}{4}1}+3e^{-i\ fracción{2\pi (2)}{4}1}+4e^{-i\frac{2\pi (3)}{4}1}=-2+2i$
$X_2=1e^{-i\frac{2\pi 0}{4}2}+2e^{-i\frac{2\pi 1}{4}2}+3e^{-i\ fracción{2\pi (2)}{4}2}+4e^{-i\frac{2\pi (3)}{4}2}=-2+0i$
$X_3=1e^{-i\frac{2\pi 0}{4}3}+2e^{-i\frac{2\pi 1}{4}3}+3e^{-i\ fracción{2\pi (2)}{4}3}+4e^{-i\frac{2\pi (3)}{4}3}=-2-2i$

$X_0 = w^{0\times 0}x_0+w^{1 \times 0} x_1+w^{2\veces 0}x_2+w^{3 \veces 0}x_3$
$X_1= w^{0\times 1}x_0+w^{1 \times 1} x_1+w^{2 \veces 1}x_2+w^{3 \veces 1}x_3$
$X_2=w^{0\times 2}x_0+w^{1 \times 2} x_1+w^{2 \veces 2}x_2+w^{3 \veces 2}x_3$
$X_3=w^{0\times 3}x_0+w^{1 \times 3} x_1+w^{2 \times 3}x_2+w^{3 \times 3}x_3$

De esta manera, dividimos la fórmula anterior en grupos, y luego dividiremos los números impares en un grupo y los números pares en un grupo. ! ! ! ! !

$X_0=w^{0\times 0}x_0+w^{2\times 0} x_2+w^{1 \veces 0}x_1+w^{3 \veces 0}x_3$
$X_1=w^{0\times 1}x_0+w^{2 \times 1} x_2+w^{1 \veces 1}x_1+w^{3 \veces 1}x_3$
$X_2=w^{0\times 2}x_0+w^{2 \times 2} x_2+w^{1 \veces 2}x_1+w^{3 \veces 2}x_3$
$X_3=w^{0\times 3}x_0+w^{2 \times 3} x_2+w^{1 \veces 3}x_1+w^{3 \veces 3}x_3$

$\begin{bmatrix} w^{0\times 0} & w^{2\times 0} &w^{1 \times 0 } &w^{3 \times 0} \\ w^{0\times 1}&w^{2 \times 1}&w^{1 \times 1}&w^{3 \times 1} \\ w^{0\ veces 2} &w^{2 \veces 2} & w^{1 \veces 2}&w^{3 \veces 2} \\ w^{0\veces 3} & w^{2 \veces 3} & w^ {1 \times 3} &w^{3 \times 3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ x_2 \\ x_1 \\ x_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} w^{0} &w^{0} &w^{0} &w^{0} \\ w^{0}&w^{2}&w^{1}&w^{3} \\ w^{0} &w^{4} & w^{2}&w^{6} \\ w^{0} & w^{6} & w^{3} &w^{9} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ x_2 \ \x_1 \\ x_3 \end{bmatriz}$

$e^{\frac{-i2\pi}{N}}$
Raíz fórmula más hermosa Fórmula de Euler:
$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$
La matriz anterior también se puede escribir como:
$w^{n\times k } = \cos (\frac{2\pi}{N}\times n\times k)-i\sin(\frac{2\pi}{N}\times n\times k)$

$\begin{bmatrix} \cos(\frac{2\pi}{4} \times0)-i\sin(\frac{2\pi}{4}\times 0) &\cos(\frac{2\pi}{4}\times0)-i\sin(\frac{2\pi}{4}\times 0) & \cos(\frac{2\pi}{4}\ times0)-i\sin(\frac{2\pi}{4}\times 0) & \cos(\frac{2\pi}{N}\times0)-i\sin(\frac{2\pi} {4}\times 0) \\ \cos(\frac{2\pi}{4}\times0)-i\sin(\frac{2\pi}{4}\times 0)& \cos(\frac {2\pi}{4}\times2)-i\sin(\frac{2\pi}{4}\times 2)& \cos(\frac{2\pi}{4}\times1)-i\ sin(\frac{2\pi}{4}\times 1)& \cos(\frac{2\pi}{N}\times3)-i\sin(\frac{2\pi}{4}\times 3) \\ \cos(\frac{2\pi}{4}\times0)-i\sin(\frac{2\pi}{4}\times 0) & \cos(\frac{2\pi} {4}\times4)-i\sin(\frac{2\pi}{4}\times 4) & \cos(\frac{2\pi}{4}\times2)-i\sin(\frac{ 2\pi}{4}\times 2)& \cos(\frac{2\pi}{N}\times6)-i\sin(\frac{2\pi}{4}\times6) \\ \cos (\frac{2\pi}{4}\times0)-i\sin(\frac{2\pi}{4}\times 0) & \cos(\frac{2\pi}{4}\times6) -i\sen(\frac{2\pi}{4}\times 6) &\cos(\frac{2\pi}{4}\times3)-i\sin(\frac{2\pi}{4}\times 3) & \cos(\frac{2\pi}{N}\ times9)-i\sin(\frac{2\pi}{4}\times 9) \end{bmatriz} \begin{bmatriz} x_0 \\ x_2 \\ x_1 \\ x_3 \end{bmatriz}$

Porque $e^{\frac{-i2\pi}{N}}$ Es periódico, por lo que la potencia de w se puede simplificar porque N=4. Por lo tanto, puede considerarse como un período de 4.
Por ejemplo:
bajo la condición de N=4, se pueden obtener las siguientes conclusiones según la periodicidad:
Según la periodicidad:
$w^4 = 1$
$w ^ 9 = w ^ 1$
$w ^ 6 = w ^ 2$
Por simetría:
$w^1 = -w^3$
$w ^ 0 = -w ^ 2$

probar:
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Se puede encontrar que el contenido del área roja es el mismo y el contenido del área azul difiere en $\omega^2$ Entonces solo necesitamos calcular la mitad del contenido. Dado que el número de sumas es mayor que la multiplicación, la complejidad solo necesita considerar el número de sumas utilizadas. Este cálculo lleva tiempo: 2 (dos sumas para el rojo) + 2 (dos sumas para el azul) + 4 (cuatro sumas en el medio ) = 4 log 2 4 2 (dos sumas para el rojo) + 2 (dos sumas para el azul) + 4 (4 sumas en el medio) = 4 $4\log_2 (4)$

cuando n=8
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Entre ellos, el área verde cubre todo, indicando el contenido que debe calcularse al principio. El área marrón solo incluye las dos piezas de contenido en la parte superior. Después de obtener el resultado del área marrón, puede obtener el verde. área en la parte inferior. El área naranja incluye la parte superior 1/4 de las dos áreas, y el área roja contiene las dos áreas de la fila superior. Verde (requisito) -> marrón (requisito) -> naranja (requisito) -> rojo (solución) -> naranja (solución) -> marrón (solución) -> verde (solución), este es un proceso recursivo obvio.

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FFT

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IFFT

Es un proceso de inversión en sí mismo, por las características de la matriz de Vandermonde el resultado es el siguiente

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Escríbelo otra vez:

$X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_ne^{-i \frac{2\pi n}{N}k}，k = 0,1,\dots,N-1$
$X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x(n)\times\cos(\frac{2\pi n}{N}k)-i\sum_{n=0}^{N-1} x(n)\times\sin(\frac{2\pi n}{N}k)$

solicitud

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Implementación de código C++

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