[归纳]强化学习导论 - 第六章：时间差分学习

1.本章内容概要

时间差分(Temporal-Difference TD)思想是RL中最重要的思想，TD方法将MC思想和DP思想结合了起来。像MC方法一样，TD方法也能直接从原始经验中学习，不需要环境的模型；而又类似于DP，TD方法的更新也是依赖之前学得的其它估值的，而不需要等待episode的结束，因此也是bootstrap的。TD、DP和MC之间的关系是RL领域永恒的主题。后面的章节我们还会看到，MC和TD是方法空间中的端点，在它们中间则分布着诸多折中的方法。

本章，我们也从prediction问题开始。然后基于GPI给出control方法。

2.TD预测

TD方法和MC方法都是利用经验解决prediction问题。给定遵循策略 $\pi$的一些经验，这两种方法都更新对非终止状态s的 $V(S_t)$的估计值。但是MC方法必须等待episode结束才能拿到return，并以return作为更新目标。对于nonstationary环境(上一章我们没怎么讨论非平稳情况，但是思想和第二章非平稳情况的处理一节是一致的)，一个every-visit MC更新方法如下式所示，叫做constant-α MC。

$V\left(S_{t}\right) \leftarrow V\left(S_{t}\right)+\alpha\left[G_{t}-V\left(S_{t}\right)\right]$

$\alpha$是更新步长， $G_t$就是上一章讨论的return，只有在一个episode结束后才能得到 $G_t$。而TD方法不同，它只需要等到下个时间步即可更新，也就是在 $t+1$时刻，利用下式更新：

$V\left(S_{t}\right) \leftarrow V\left(S_{t}\right)+\alpha\left[R_{t+1}+\gamma V\left(S_{t+1}\right)-V\left(S_{t}\right)\right]$

这里的更新目标是 $R_{t+1}+\gamma V(S_{t+1})$，其中 $V(S_{t+1})$是我们已有的对 $S_{t+1}$的值的估计，因此类似于DP，TD也是基于bootstrapping思想的。上式这种更新叫做 $TD(0)$，或者one-step TD。显然，我们还可以扩展出 $TD(\lambda)$，这将在后续章节讨论。

上述式子实际上来自于Bellman方程，我们已经在第三章中介绍了(策略和值函数小节)：
$\begin{aligned} q_{\pi}(s, a) &=\mathbb{E}_{\pi}\left[G_{t} | S_{t}=s, A_{t}=a\right] \\ &=\sum_{s^{\prime}, r} p\left(s^{\prime}, r | s, a\right)\left[r+\gamma v_{\pi}\left(s^{\prime}\right)\right] \\ &=\sum_{s^{\prime}, r} p\left(s^{\prime}, r | s, a\right)\left[r+\gamma \sum_{a^{\prime}} \pi\left(a | s^{\prime}\right) q_{\pi}\left(s^{\prime}, a^{\prime}\right)\right] \end{aligned}$
在第二章中(非平稳情况的处理一节)，我们讨论了对于非平稳问题如何逐渐更新以得到好的值估计：
$\begin{aligned} Q_{n+1} &=Q_{n}+\alpha\left[R_{n}-Q_{n}\right] \\ &=\alpha R_{n}+(1-\alpha) Q_{n} \\ &=\alpha R_{n}+(1-\alpha)\left[\alpha R_{n-1}+(1-\alpha) Q_{n-1}\right] \\ &=\alpha R_{n}+(1-\alpha) \alpha R_{n-1}+(1-\alpha)^{2} Q_{n-1} \\ &=\alpha R_{n}+(1-\alpha) \alpha R_{n-1}+(1-\alpha)^{2} \alpha R_{n-2}+\\ &=(1-\alpha)^{n} Q_{1}+\sum_{i=1}^{n} \alpha(1-\alpha)^{n-i} R_{i} \end{aligned}$

这个算法如下：

回想下DP方法：

$\begin{aligned} v_{\pi}(s) & \doteq \mathbb{E}_{\pi}\left[G_{t} | S_{t}=s\right] \\ &=\mathbb{E}_{\pi}\left[R_{t+1}+\gamma G_{t+1} | S_{t}=s\right] \\ &=\mathbb{E}_{\pi}\left[R_{t+1}+\gamma v_{\pi}\left(S_{t+1}\right) | S_{t}=s\right] \end{aligned}$

显然，MC方法实际上基于第一行，DP和TD方法基于第三行。在MC中，我们无法直接得到第一行式子中的期望，因此是利用采样近似的(sample update)；DP方法中模型是已知的，因此不需要采样，但是 $v_\pi(S_{t+1})$是估计的；而TD方法则结合了DP的bootstrapping和MC的采样。

$TD(0)$的backup diagram如下：

从backup图分析，sample updates只根据本次的下个state采样和reward采样更新当前状态的值，因此sample updates与DP的expected updates是不同的，sample方法不去显式地考虑后续状态与回报值的分布。

$TD(0)$中方括号内的部分叫做TD error：

$\delta_{t} \doteq R_{t+1}+\gamma V\left(S_{t+1}\right)-V\left(S_{t}\right)$

如果我们在一个episode中不去更新值函数，只计算每个step的TD error，那么MC error可以写成TD error累加的形式：

$\begin{aligned} G_{t}-V\left(S_{t}\right) &=R_{t+1}+\gamma G_{t+1}-V\left(S_{t}\right)+\gamma V\left(S_{t+1}\right)-\gamma V\left(S_{t+1}\right) \\ &=\delta_{t}+\gamma\left(G_{t+1}-V\left(S_{t+1}\right)\right) \\ &=\delta_{t}+\gamma \delta_{t+1}+\gamma^{2}\left(G_{t+2}-V\left(S_{t+2}\right)\right) \\ &=\delta_{t}+\gamma \delta_{t+1}+\gamma^{2} \delta_{t+2}+\cdots+\gamma^{T-t-1} \delta_{T-1}+\gamma^{T-t}\left(G_{T}-V\left(S_{T}\right)\right) \\ &=\delta_{t}+\gamma \delta_{t+1}+\gamma^{2} \delta_{t+2}+\cdots+\gamma^{T-t-1} \delta_{T-1}+\gamma^{T-t}(G-0) \\ &=\sum_{k=t}^{T-1} \gamma^{k-t} \delta_{k} \end{aligned}$

在实际操作中，在episode中间我们会逐step更新，因此上面这个式子并不准确，但是如果更新步长较小，那么上面这个式子就比较有参考意义。

example 6.1 Driving Home
你每天都开车回家，并尝试预测路上所需时间。当你离开办公室的时候，你看了下[时间、周几、天气、其它相关信息]。例如现在是周五，你6点离开办公室，你估计需要30分钟到家；然后你6:05来到了车上，这时你注意开始下雨了，因此你预计还需要35分钟到家；15分钟后，你跑完了高速路的部分，发现路上很顺利，因此你修改对总时长的预计为35分钟；不幸的是，这时候前面出现了个卡车堵着你，你还没法超过去，你直到6:40才超过卡车；3分钟后，你到家了。这个过程整理如下：

这个例子中，reward是每个路段所消耗的时间，且折扣因子是1，因此return就是还需要的时间。表格中间的一列就是对各个状态的估计值。我们可以通过这个例子理解MC和TD方法：

上图绘制了利用MC方法和TD方法预测的总耗时。图中的红色箭头是每个状态计算得到的error。对于MC方法，只有我们到家后得到真实的总时间消耗，才能计算各个状态的 $G_t$，这样才能更新各个状态的值，而人们实际是不会这么做的，我们会根据当前的情况而不断修正对还需时间的预测。例如我们最初估 $V(S_0)=30min$，但是我们堵车了 $25min$才走了半程。这时我们实际上就可以重新估计 $V(S_0)=50min$了，可见不要走完全程得到 $G_t$我们也能改善估计，这就是采用时间差分的方法。
如果搬家了，导致路程的前半段还不变，但是后半段变了，这样TD方法就比MC方法好很多，因为TD方法可以充分利用以往的经验，而MC方法则必须从头开始学习，因为以往的那些 $G_t$值没用了，如果非得用，也会在开始的时候被过去经验干扰，很久后才收敛，这是所谓的nonstationary问题。
此外，TD方法在计算和存储上面也有优势。

3.TD预测方法的优势

这一小节讨论TD方法相对于DP和MC方法的优势。核心问题是，learn a guess from a guess(bootstrap)是更好的方法吗？TD方法具有如下优势：

1. TD是model-free的，不需要next state和reward的分布概率；
2. TD是step-by-step增量式的(只需等到t+1)，而MC方法必须等到episode结束；TD方法对于长episode或continuing问题具有很大优势，因为相对而言MC方法需要等待很久才能更新，且计算和存储开销太大；且MC方法必须忽略/折扣实验性的actions(见上一章off-policy部分)，而TD方法则能从所有的transitions中学习；
3. TD(0)对于固定策略，已证明可以收敛到 $v_π$，只要更新步长满足随机估计条件(第二章非平稳情况的处理部分)，但是注意大多数证明只针对table-based类型，少数针对linear function估计类型；
4. TD方法在实践上比MC方法收敛得更快，但是这是没有得到证明的。

example 6.2 Random Walk
随机行走问题如下图所示：

这是一个马尔可夫回报过程(Markov Reward Process, MRP)，与MDP的区别是MRP没有动作选择的步骤，只有状态转移。random walk从中心C出发，转移到左边或右边状态的概率都是0.5，到达两侧的终止状态则结束episode，回报值标记在箭头上，取 $\gamma=1.0$，那么每个状态的值是从该状态出发能到达最右端的概率，显然有： $v_\pi(A)=\frac{1}{6},v_\pi(B)=\frac{2}{6},v_\pi(C)=\frac{3}{6},v_\pi(D)=\frac{4}{6},v_\pi(E)=\frac{5}{6}$(直接求解MDP方程组即可，见第三章)。

左图给出的是不同数量episodes后 $TD(0), \alpha=0.1$的估计的值的情况，可见100个episodes后就估计得很准确了。右图则给出了MC和TD方法的均方根误差RMS随着episodes数目变化的曲线(各个状态的值都初始化为0.5)。可见TD方法表现得更好，但是也和 $\alpha$的选取有关。

遗留问题：为什么当 $\alpha$较大时，RMS曲线会在最后稍微上翘？这和初值有关吗？
//查了各种资料，暂时没找到这个问题的合理解释。
//这个问题还与后面Expected Sarsa一节中曲线的解释有关。

4.TD(0)的最优性和MC的最优性不同

这一节主要说明TD(0)与MC虽然都能收敛到最优，但是最优的指标不同。前者是极大似然估计MLE，后者是最小均方误差估计MSE。最优为了便于分析，需要考虑batch updating。

batch updating(类似epoch)：假设只有有限的经验，我们每次遍历所有的经验，在每个step只计算出更新量，在全部遍历后一次更新值函数。在batch updating下，TD(0)确定性地收敛到唯一的解，只要α足够小的即可。batch constant-α MC方法在同样条件下也收敛到确定性的唯一解，但是这个解与TD(0)不同。

example 6.3 Random walk under batch updating
在每个新的episode后，把目前得到的所有episodes作为一个batch，然后利用batch TD(0)或batch $constant-\alpha$ MC在这个批上更新，然后计算RMS，可以看到TD方法好于MC方法。乍一看，这是很奇怪的，因为MC方法计算的是样本均值，应该是最优解了。但实际上，这是因为两种方法的最优指标不同导致的，MC方法没有考虑到MDP模型的影响。example 6.4 将具体说明。

example 6.4 You are the Predictor
给定下面八个episodes，A/B表示状态，数字表示return，我们分析下基于这八个episodes，MC和TD(0)方法的区别。

折扣因子是1.0，如果用batch MC，则 $v(A)=0$，如果用batch TD(0)，则 $v(A)=3/4$。直观上，B出现了8次，其中6次都返回1并结束，因此 $v(B)=3/4$更合适，而如果γ=1， $v(A)$应该等于 $v(B)$，因此可见TD方法更准确。实际上，MC是观测数据上的MSE(均方误差)，TD则是观测数据上的MLE(极大似然估计)。
针对这个例子，我们看到，batch MC的是最小化样本上的MSE，而batch TD则是最小化样本上的MLE，后者是考虑MDP模型的。实际上，后面这种考虑模型的估计叫做certainty equivalence估计，因为这等价于假设过程是已知的。如果不考虑折扣因子γ，这个概念的含义是，首先计算出终止状态的值函数，然后每个中间状态的值函数是其后续状态值函数依概率的加权平均，这可以通过统计计算，然而当状态空间较大时，无法直接分析出这个估计，但是TD(0)能收敛到其上。这就是TD(0)比MC好的原因。non-batch方法虽然不能这样分析，但是可以认为non-batch方法是向certainty-equivalence估计靠近的一种方法。

5.Sara: on-policyTD控制

介绍完prediction方法后，我们来介绍control方法，也就是把policy evaluation和policy improvement结合起来。这和之前一样也是遵循GPI的，不过是改用TD方法进行评估和预测了。和MC方法类似，这里也面临探索和利用问题，可以通过on-policy和off-policy解决。

control的第一步是估计当前策略的动作值，为了不依赖模型我们评估action value，这和之前介绍的state value是类似的。我们可以写出动作值的TD(0)更新公式：

$Q\left(S_{t}, A_{t}\right) \leftarrow Q\left(S_{t}, A_{t}\right)+\alpha\left[R_{t+1}+\gamma Q\left(S_{t+1}, A_{t+1}\right)-Q\left(S_{t}, A_{t}\right)\right]$

action-value下的backup diagram与state-value情况下是类似的，且能证明TD(0)是收敛的。注意这里处理的都是state-action pair，且是nonterminal的状态，terminal的action value始终设置为0。这需要利用 $(S_t, A_t, R_{t+1},S_{t+1},A_{t+1})$五元组(quintuple of events)。这几个元素字母构成了Sarsa这个词。根据这个更新公式可以容易地设计出on-policy控制算法。

选择的动作和评估的动作是一样的，且动作选择采用ε-greedy或ε-soft都行，但是要保证每个state-action pair被visit无数次，且policy逐渐收敛于贪婪(ε逐渐降低)。

example 6.5 Windy Gridworld

带侧风的GridWorld问题。网格图中下标的数字，表示一旦agent到达该列，则每个step向上额外移动多少步。从S出发，目标是到达G，每次我们可以选择上下左右四个方向移动一个小格。所有动作都得到-1的reward，直到到达G，不考虑折扣。如果向Grid外边移动，则状态不转移。曲线给出了steps和episodes之间的关系。最开始找到终点比较慢(策略差)，所以episodes增长慢，然后策略逐渐变好，episodes开始快速增长。
取参数ε=0.1，α=0.5时，算法最好能得到一个17steps的策略，而该问题最优策略实际上是15steps。这主要是因为 $\epsilon$没有逐渐下降造成的。而MC方法难以应用到这个问题上，因为一些策略可能无法使episode终止(陷在某些状态)，而Sarsa则不会(不佳的state-action对的值会逐渐下降)。

6.Q-learning: off-policy TD控制

watkins于1989提出的Q-learning算法(一种off-policy TD control算法)，这是RL早期的重大突破。与Sarsa的区别是，在Q-learning中，action-value更新公式不管在 $s'$采取什么动作，都用 $max_a(Q(s', a))$作为target更新。这样，学习到的Q函数直接估计 $q*$，而不管策略是什么。这极大简化了算法的分析，并使算法收敛的证明成为可能。

$Q\left(S_{t}, A_{t}\right) \leftarrow Q\left(S_{t}, A_{t}\right)+\alpha\left[R_{t+1}+\gamma \max _{a} Q\left(S_{t+1}, a\right)-Q\left(S_{t}, A_{t}\right)\right]$

注意，Q-learning是off-policy的，而Sarsa是on-policy的，因为Q-learning评估的策略与实际使用的策略不完全相同。Q-learning可以学到最优策略，而Sarsa则不能(除非ε逐渐降低)。

那么，Q-learning为什么不需要重要性采样呢？我们首先回顾下MC方法中增量off-policy算法：

可见，算法中对于每个 $Q(S_t, A_t)$的更新中的重要性采样比率，只连乘到了t-1步，而与t步时target policy和behavior policy所选择动作的概率无关，因此这里的重要性采样比率是1.0[2-3]。

只有behavior policy能够探索到所有的状态动作对，并且学习率 $\alpha$ 足够小且满足收敛条件(第二章)，那么可以证明Q学习算法以概率1收敛到 $q_*$ 。

Q-learning的backup diagram是什么样的呢？如下图所示。注意实心节点表示state，空心节点表示state-action pair，圆弧表示从中取最大。注意这与Sarsa的区别。

example 6.6 Cliff Walking
如图所示，目标是从S到G，动作是上下左右移动一个格子，任何跨入悬崖的动作导致 $reward = -100$，且返回起点S，跨入G则终止episode，其它则导致 $reward=-1$。

曲线图给出了固定 $\epsilon$时Sarsa和Q-learning的收敛曲线，注意最终收敛时，Q-learning是比Sarsa差的，因为它比较激进，会紧贴着悬崖走，而 $\epsilon$引入的随机性会导致有时agent踏入悬崖，导致较差的online performance；而Sarsa会绕远一些，保守但是online performance更好一点。如果逐渐减小 $\epsilon$，则都能收敛到最优策略。

7.期望Sarsa

Sarsa中，更新时考虑的target是包含 $Q(s', a)$，a是实际采取的动作，而因为policy有随机性(ε-greedy)，导致更新量的方差较大，Expected Sarsa更新时按概率取下个动作值，因此这个方法实际上是Sarsa的改进，但是遵循Q-learning框架(Q-leaning在t时刻就能更新，而Sarsa必须等到t+1时刻才能更新，Expected Sarsa也是在t时刻更新的)。Expected Sarsa比Sarsa计算复杂不少，但是降低了方差，效果比Sarsa和Q-learning都好。

$\begin{aligned} Q\left(S_{t}, A_{t}\right) & \leftarrow Q\left(S_{t}, A_{t}\right)+\alpha\left[R_{t+1}+\gamma \mathbb{E}_{\pi}\left[Q\left(S_{t+1}, A_{t+1}\right) | S_{t+1}\right]-Q\left(S_{t}, A_{t}\right)\right] \\ & \leftarrow Q\left(S_{t}, A_{t}\right)+\alpha\left[R_{t+1}+\gamma \sum \pi\left(a | S_{t+1}\right) Q\left(S_{t+1}, a\right)-Q\left(S_{t}, A_{t}\right)\right] \end{aligned}$

顺便提一下，其实在机器学习中，偏差和方差权衡（bias variance trade-off）一直是一个难以两全其美的问题，因此大家也比较热衷于偏差和方差的讨论。对于估计来说，我们肯定是希望偏差小，方差也小。事实上，往往偏差小就方差大。比如MC估计是无偏的，但是方差很大。方差大带来的后果是什么呢？就是训练不稳定，甚至可能影响收敛性。TD估计方法的方差就小一些。下一章介绍的n步TD算法，就是为了综合MC和TD的优点，本质上也是在解决偏差方差平衡问题[2]。

下图展示了随着参数α变化，三种算法在Cliff Walking问题上的性能。叉子表示Expected Sarsa，三角表示Sarsa，方块表示Q-learning。实线表示asymptotic performance(前100,000个episodes的平均)，虚线表示interim performance(前100个episodes的平均）。可以看到，Sarsa的asymptotic performance随着参数变大而快速下降，interim performance在0.9附近最好；Q-learning与Expected Sarsa的asymptotic performance不随参数变化，Q-learning的interim performance也是在0.9附近最好，而Expected Sarsa则在1.0附近最好。总体来看Expected Sarsa是最好的。

上面的情况之所以出现，是因为Cliff Walking问题本身没有随机性，所有的随机性都来自于policy，因此求期望的方法且设置α=1是没有任何问题的，而Sarsa由于方差太大，导致无法收敛，asymptotic performance很差；对于Sarsa，其interim performance表现不比Q-learning差，但是asymptotic performance曲线却剧烈变差，这可能与算法收敛到最佳值后会变差有关，具体见example 6.2 Random Walk中的曲线(具体原因还需要更多分析)。

这里讨论的Expected Sarsa是on-policy的，但是也可以用一个与target policy不同的策略生成behavior,就变成off-policy的了。例如，target policy是greedy但是behavior是更具探索性的，则Expected Sarsa就变成了Q-learning。

Expected Sarsa除了计算量大一些，比别的TD方法效果都要好。

8.最大化操作偏差及双学习的解决办法

Q-learning和Sarsa中都有maximization操作，而这个最大化是针对估计值的，这可能会导致引入严重的positive bias，叫做maximization bias，例如对于一个状态s，所有 $q(s, a)=0$，但是 $Q(s, a)$不都得0，这样可能会有一些大于0一些小于0，从而估计的 $max_aQ(s, a)$对 $max_aq(s, a)$有偏差。

example 6.7 Maximization Bias Example:
只有两个nonterminal状态A和B，对于A，right返回0并终结，left也返回0，但是转移到B，B上可采取多个动作，每个动作的reward是 $N(-0.1, 1)$上的采样，因此如何不考虑折扣， $q(A, left)=-0.1$。

选择ε=0.1，α=0.1，γ=1.0。

我们可以想到，总有一些Q(B, a)是正的，这是因为随机性的影响，而我们更新Q(A, left)时，Q-learning会考虑Q(B, a)中的最大值，从而使Q(A, left)向正数偏，从而出现maximization bias。后面也能逐渐收敛，是因为 $Q(B, a)$也都逐渐回归到真实的-0.1，但是由于α是固定的且比较大的数，因此 $Q(B, a)$是有波动的，总会有一些 $Q(B, a)$波动到0以上，因此到最后渐进时还是达不到最优(这里我们可以考虑 $P(max(X_1, X_2))>0$这类问题。这个问题中，最优就应该是5%选左边，因为有10%的随机选择。

解决办法是double learning。

首先分析为什么会有偏，因为我们用一组samples估计Q(s, *)，注意估计的过程我们就始终在用最大化操作，这是有误差的，误差始终服从一个分布，然后我们在这个有误差的值函数估计上做最大化，这就导致了偏差的出现(对多个随机变量取最大值，就会出现偏差)。本质就是前后耦合，在t步选择最佳动作就利用了以前的信息，用t+1的值更新t步的值，选择t+1所采取的动作/t+1所采取动作的Q值都与历史信息有关，因此就耦合了。

我们可以把经验分成两组，设置两个Q函数， $Q_1$决定哪个动作最好(greedy)， $Q_2$给出这个动作的值。而 $E[Q_2(s, argmax_a Q_1(a))]=q(s, argmax_a Q_1(a))$。两个Q的角色以0.5的概率互换。这种做法增加了存储量，但是计算量没有增加。与Q-learning结合，可以得到Double Q-learning。更新公式下所示，注意按照50%的概率翻转两个Q的角色。

$Q_{1}\left(S_{t}, A_{t}\right) \leftarrow Q_{1}\left(S_{t}, A_{t}\right)+\alpha\left[R_{t+1}+\gamma Q_{2}\left(S_{t+1}, \underset{a}{\arg \max } Q_{1}\left(S_{t+1}, a\right)\right)-Q_{1}\left(S_{t}, A_{t}\right)\right]$

如果不好理解，可以这样考虑：之所以会出现maximization bias，本质上因为max(a, b, c…)函数的期望会放大a, b, c(i.i.d)本身的期望，从而出现问题；double Q能有作用，是因为它打破了耦合，max操作所利用的数据与求 $Q(s,a)$所利用的数据无关，因此max操作与计算a, b, c的Q值所用的数据无关。

我们还可以同时使用这两个action-value估计设计behavior policy，例如我们可以根据两个action-value的均值决策。下面给出了Double Q-learning算法伪代码，从曲线图上看，确实很好地改善了maximization bias。

9.RL问题的特殊处理方法 ：afterstates

本书致力于给出一种用来解决一类广泛问题的一致的方法，但是总有些例外问题用特殊化的方法处理更好一些。例如第一章的Tic-Tac-Toe问题，它更像基于state-value而不是action-value的，然而它连state-value都不是。

因为通常state-value函数是估计那些agent有动作可选择的states的值，而tic-tac-toe中，我们采用的方法没有显式的action，而是评估在agent做出决策之后的盘面。我们在从当前状态s出发，把棋子放到每个空着的位置，然后得到这个新的盘面(状态)的值，我们可以得到各种可能的新的盘面的值，然后选择最好的那个作为我们实际采取的动作。这里的值函数叫做afterstates value函数，得到afterstates是确定性的，也就是在s下执行动作a是直接转移到s’的，而不是依概率的，这让我们好处理得多，因为我们不必求期望，也不必记录 $Q(s, a)$这样大很多的值空间。

拿Tic-Tac-Toe举例，有时 $s_1+a_1=s_2+a_2$，就是不同状态下，我们下棋在不同位置后，最后的结果 $s'$是一样的，这样通过afterstates就比action-value函数高效很多，大大降低了值函数空间，而action-value方法必须分别评估这两种pairs。

afterstates不仅仅在棋类游戏中有用，在很多地方都有用，例如：队列处理程序可以匹配customer和server，拒绝customer或者丢弃信息，这时动作的影响能立即知道(确定的状态转移)，因此适合afterstates。

然而不太可能找到所有特殊问题的专门解法，而本书的内容覆盖得却比较广泛，例如afterstates方法也是符合GPI的，也会出现on-policy和off-policy问题。

10.总结

本章主要介绍了TD方法，我们和往常一样, 也把总的问题分割成prediction和control两个子问题。TD和MC都能解决预测问题，而控制问题的所有扩展方法都是基于GPI的(来自DP)。

当我们基于经验做prediction时，维持探索的难题就出现了，TD的control部分往往采用on-policy和off-policy解决。Sarsa是on-policy的，Q-learning是off-policy的，Expected Sarsa是on-policy或off-policy的，而另一种方法actor-cirtic则在后面章节单独讨论，actor-critic是目前state-of-the-art的RL算法中非常重要的思想。

本章介绍的方法是最常用的RL方法，可能主要是由于其简洁性吧：online、计算简单、公式简单、程序实现简单。后面我们会扩展一下，使之稍稍复杂些并更强大起来，但它们仍然可以online, 计算量小，且受TD误差驱动。本章的TD方法实际上是one-step, tabular, model-free的，后面我们会扩展到n-steps(结合MC)，并结合模型(结合DP)。然后在part2，我们延伸到approximation形式替代table。

本章介绍了TD在RL中的应用，但是TD其实可以用于各种long-term动态系统预测问题，如金融数据、预期寿命、选举结果预测等。

• TD预测方法。
• TD方法相对于DP和MC方法的优势，及其收敛条件。Is learning a guess from a guess sound?
• batch updating下，TD与MC方法的对比分析，TD是求MLE，MC是求MSE。
• Sarsa。
• Q-learning。
• Expected Sarsa。
• Maximization Bias及其解决办法：Double Learning。
• Afterstates方法。不同问题也许有特化的解决方式。

参考文献

[1].Sutton书
[2].(知乎专栏)https://zhuanlan.zhihu.com/c_1060499676423471104
[3].(Q-learning重要性采样比率说明)https://stats.stackexchange.com/questions/335396/why-dont-we-use-importance-sampling-for-one-step-q-learning