语言模型及RNN模型

语言模型

一段自然语言文本可以看作是一个离散时间序列，给定一个长度为 $T$的词的序列 $w_1, w_2, \ldots, w_T$，语言模型的目标就是评估该序列是否合理，即计算该序列的概率：

$P(w_1, w_2, \ldots, w_T).$

语言模型

假设序列 $w_1, w_2, \ldots, w_T$中的每个词是依次生成的，我们有

例如，一段含有4个词的文本序列的概率

$P(w_1, w_2, w_3, w_4) = P(w_1) P(w_2 \mid w_1) P(w_3 \mid w_1, w_2) P(w_4 \mid w_1, w_2, w_3).$

语言模型的参数就是词的概率以及给定前几个词情况下的条件概率。设训练数据集为一个大型文本语料库，如维基百科的所有条目，词的概率可以通过该词在训练数据集中的相对词频来计算，例如， $w_1$的概率可以计算为：

其中 $n(w_1)$为语料库中以 $w_1$作为第一个词的文本的数量， $n$为语料库中文本的总数量。

类似的，给定 $w_1$情况下， $w_2$的条件概率可以计算为：

其中 $n(w_1, w_2)$为语料库中以 $w_1$作为第一个词， $w_2$作为第二个词的文本的数量。

n元语法

序列长度增加，计算和存储多个词共同出现的概率的复杂度会呈指数级增加。 $n$元语法通过马尔可夫假设简化模型，马尔科夫假设是指一个词的出现只与前面 $n$个词相关，即 $n$阶马尔可夫链（Markov chain of order $n$），如果 $n=1$，那么有 $P(w_3 \mid w_1, w_2) = P(w_3 \mid w_2)$。基于 $n-1$阶马尔可夫链，我们可以将语言模型改写为

$P(w_1, w_2, \ldots, w_T) = \prod_{t=1}^T P(w_t \mid w_{t-(n-1)}, \ldots, w_{t-1}) .$

以上也叫 $n$元语法（ $n$-grams），它是基于 $n - 1$阶马尔可夫链的概率语言模型。例如，当 $n=2$时，含有4个词的文本序列的概率就可以改写为：

循环神经网络

本节介绍循环神经网络，下图展示了如何基于循环神经网络实现语言模型。我们的目的是基于当前的输入与过去的输入序列，预测序列的下一个字符。循环神经网络引入一个隐藏变量 $H$，用 $H_{t}$表示 $H$在时间步 $t$的值。 $H_{t}$的计算基于 $X_{t}$和 $H_{t-1}$，可以认为 $H_{t}$记录了到当前字符为止的序列信息，利用 $H_{t}$对序列的下一个字符进行预测。

循环神经网络的构造

我们先看循环神经网络的具体构造。假设 $\boldsymbol{X}_t \in \mathbb{R}^{n \times d}$是时间步 $t$的小批量输入， $\boldsymbol{H}_t \in \mathbb{R}^{n \times h}$是该时间步的隐藏变量，则：

$\boldsymbol{H}_t = \phi(\boldsymbol{X}_t \boldsymbol{W}_{xh} + \boldsymbol{H}_{t-1} \boldsymbol{W}_{hh} + \boldsymbol{b}_h).$

其中， $\boldsymbol{W}_{xh} \in \mathbb{R}^{d \times h}$， $\boldsymbol{W}_{hh} \in \mathbb{R}^{h \times h}$， $\boldsymbol{b}_{h} \in \mathbb{R}^{1 \times h}$， $\phi$函数是非线性激活函数。由于引入了 $\boldsymbol{H}_{t-1} \boldsymbol{W}_{hh}$， $H_{t}$能够捕捉截至当前时间步的序列的历史信息，就像是神经网络当前时间步的状态或记忆一样。由于 $H_{t}$的计算基于 $H_{t-1}$，上式的计算是循环的，使用循环计算的网络即循环神经网络（recurrent neural network）。

在时间步 $t$，输出层的输出为：

$\boldsymbol{O}_t = \boldsymbol{H}_t \boldsymbol{W}_{hq} + \boldsymbol{b}_q.$

其中 $\boldsymbol{W}_{hq} \in \mathbb{R}^{h \times q}$， $\boldsymbol{b}_q \in \mathbb{R}^{1 \times q}$。