洛谷 P3980 [NOI2008]志愿者招募 网络流 最小费用最大流 Dinic+Spfa 事先确定最大流

题目链接：

https://www.luogu.com.cn/problem/P3980

思路来源博客：

https://www.luogu.com.cn/blog/user9012/solution-p3980

算法：1：最小费用最大流 Dinic+Spfa

思路：

1：一开始就确定了最大流是inf，然后每一条边的流量差多少就是当天需要多少个志愿者，而志愿者有两个来源，

      1：自己当天花钱请的

      2：前边的天已经花过钱，今天不用再花钱，继承过来的（优先选择，因为不花钱）

2：源点连第一天，汇点连最后一天（是n+1而不是n），容量为inf费用为0

3：这样跑网络流是沿时间流的（就是依次解决每一天的问题），然后每一天向后一天连一条容量为inf-a[i]（当天需要的志愿者数量）费用为0的边，为什么容量为inf-a[i]：这就相当于少了a[i]，得用带权边补全确定的最大流inf，这就是志愿者连续干时沿这条边跑，因为连续干不花钱，所以优先选这种边

4：然后将每一类志愿者s[i]与t[i]+1连一条容量为inf，花费为c[i]的边，当连续干的人不够时，就得自己花钱请志愿者，补全事先确定的最大流inf

图解：

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn=1e3+3,maxm=2e4+2e3+5,inf=0x7fffffff;
int n,m,s,t,tot=1,head[maxn],dis[maxn],flow[maxn],pre[maxn],last[maxn],maxflow,mincost;
//dis最小花费;pre每个点的前驱；last每个点的所连的前一条边；flow源点到此处的流量
bool vis[maxn];
queue<int>q;

struct edge
{
    int to,next,w,dis;//w流量 dis花费
}e[maxm];

void addedge(int x,int y,int w,int dis)
{
    e[++tot].to=y;e[tot].w=w;e[tot].dis=dis;e[tot].next=head[x];head[x]=tot;
    e[++tot].to=x;e[tot].w=0;e[tot].dis=-dis;e[tot].next=head[y];head[y]=tot;
}

bool spfa(int s,int t)
{
    memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
    memset(flow,0x7f,sizeof(flow));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    q.push(s);vis[s]=1;dis[s]=0;pre[t]=-1;
    while(!q.empty())
    {
        int now=q.front();q.pop();
        vis[now]=0;
        for(int i=head[now];i;i=e[i].next)
        {
            int y=e[i].to;
            if(e[i].w>0&&dis[y]>dis[now]+e[i].dis)//相当于求最短路
            {
                dis[y]=dis[now]+e[i].dis;
                pre[y]=now;
                last[y]=i;
                flow[y]=min(flow[now],e[i].w);
                if(!vis[y])
                {
                    vis[y]=1;q.push(y);
                }
            }
        }
    }
    return pre[t]!=-1;
}

void dfs()
{
    int now=t;
    maxflow+=flow[t];
    mincost+=flow[t]*dis[t];
    while(now!=s)//从汇点一直回溯到源点
    {
        e[last[now]].w-=flow[t];
        e[last[now]^1].w+=flow[t];
        now=pre[now];
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    scanf("%d %d",&n,&m);
    s=0;t=n+2;
    addedge(s,1,inf,0);
    addedge(n+1,t,inf,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a;scanf("%d",&a);
        addedge(i,i+1,inf-a,0);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,dis;scanf("%d %d %d",&x,&y,&dis);
        addedge(x,y+1,inf,dis);
    }
    while(spfa(s,t))dfs();
    printf("%d\n",mincost);
    return 0;
}