图的m着色问题回溯法求解

问题描述

给定无向连通图G和m种不同的颜色。
用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色。是否有一种着色法使G中每条边的2个顶点着不同颜色。这个问题是图的m可着色判定问题。

若一个图最少需要m种颜色才能使图中每条边连接的2个顶点着不同颜色，则称这个数m为该图的色数。

求一个图的色数m的问题称为图的m可着色优化问题。
在这里插入图片描述
连通图的可着色问题
给定图G=(V,E)和m重颜色，若这个图不是m可着色，给出否定回答，若这个图是m可着色的，找出所有不同的着色法。

解向量：

(x1, x2, … , xn)表示顶点i所着颜色x[i] 用m种颜色为无向图G=(V,E)着色，其中，V的顶点个数为n，可以用一个n元组x=(x1,x2,…,xn)来描述图的一种可能着色，其中，xi∈{1, 2, …, m}，(1≤i≤n)表示赋予顶点i的颜色。例如，5元组(1, 2, 2, 3, 1)表示对具有5个顶点的无向图的一种着色，顶点A着颜色1，顶点B着颜色2，顶点C着颜色2，如此等等。

如果在n元组X中，所有相邻顶点都不会着相同颜色，就称此n元组为可行解，否则为无效解。若一个图是m可着色的，要求出所有的不同着色法。

解空间

图的m着色问题的解空间是一棵排列树，每个顶点可着颜色有m种选择，n个顶点就有mⁿ种不同的着色方案，问题的解空间是一棵高度为n的完全m叉树，这里树高度的定义为从根节点到叶子节点的路径的长度。每个分支结点，都有m个儿子结点。最底层有mⁿ个叶子结点。
在这里插入图片描述

例如，表示用3种颜色为3个顶点的图着色的状态空间树。如下图所示，对第i（i>=1）层上的每个顶点，从其父节点到该节点的边上的标号表示顶点i着色的颜色编号。

四色定理

四色问题是m图着色问题的一个特例，根据四色原理，证明平面或球面上的任何地图的所有区域都至多可用四种颜色来着色，并使任何两个有一段公共边界的相邻区域没有相同的颜色。这个问题可转换成对一平面图的４－着色判定问题(平面图是一个能画于平面上而边无任何交叉的图)。将地图的每个区域变成一个结点，若两个区域相邻，则相应的结点用一条边连接起来。多年来，虽然已证明用5种颜色足以对任一幅地图着色，但是一直找不到一定要求多于4种颜色的地图。直到1976年这个问题才由爱普尔，黑肯和考西利用电子计算机的帮助得以解决。他们证明了4种颜色足以对任何地图着色。

洛谷OJ-P2819图的m着色问题

输入

第1行有3个正整数n，k 和m，表示给定的图G有n个顶点和k条边，m种颜色。顶点编号为1，2，…，n。接下来的k行中，每行有2个正整数u,v，表示图G 的一条边(u,v)。

5 8 4
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
2 5
3 4
4 5

输出

程序运行结束时，将计算出的不同的着色方案数输出。

代码

#include <iostream>
using namespace std;
#include<cstring>
#include<math.h>
int n;//图一共有n个顶点
int m;//m种颜色被选择
int k;//图中有k条边
int sum=0;//图的m着色种类
int x[101];//存放当前的着色序列{...}
int a[101][101];//图的邻接矩阵
//判断给点t着色为x[t]是否可行
bool OK(int t)
{
	//可行的条件是当前点相邻的点不能与之同色
    for(int i=1;i<t;i++)
        if(a[i][t]==1&&x[i]==x[t])
            return false;
	//如果所有与之相邻的点都不与之同色
    return true;
}
void getsum(int i)
{
    if(i>n){//i>n说明找到了一个可行的涂色方案
        sum++;//涂色方案数++
        //这里可以选择性的输出解向量
        //for(int k=1;k<=n;k++)
        	//cout<<x[i]<<" ";
        //cout<<endl;
        return ;
    }
    //还没有到叶子节点，需要给当前节点可行的涂色
    else{
        for(int k=1;k<=m;k++){	//子树是一个m叉树
            x[i]=k;//给第i个顶点着第k种颜色
            if(OK(i))
                getsum(i+1);
            x[i]=0;//如果给第i个顶点着第k种颜色不可行
            //不涂色，便于后续涂色
        }
    }
    return ;//如果当前节点所有颜色都不可行，结束对子树的遍历，返回
}
int main()
{
    cin>>n>>k>>m;//输入定点数，边数，着色种类数
    int x,y;
    memset(a,0,sizeof(a));//给邻接矩阵赋初值
    for(int i=1;i<=k;i++){
        cin>>x>>y;
        a[x][y]=a[y][x]=1;//生成邻接矩阵
    }
    getsum(1);
    cout<<sum;//输出最大可行的着色方案数，sum初始值为0
    return 0;
}