动态规划【8】之状态压缩DP

状态压缩DP将状态作为数组的一维，进行动态规划。

例题：luogu1433 吃奶酪

房间里放着 $n$ 块奶酪。一只小老鼠要把它们都吃掉，问至少要跑多少距离？老鼠一开始在 $(0,0)$ 点处。
输出要跑的最少距离。
其中 $n \leq 15$。

因为要把所有的奶酪吃完，所以我们要考虑吃的顺序，不同的顺序对结果有很大的影响。从暴力的角度看，共有 $n!$个顺序，当 $n=15$时， $n!=1307674368000$，显然会超时。

优化，考虑如下情况：
假设现在已经吃了 $3$块奶酪，要去吃剩下的 $n-3$块。已经吃的 $3$块中只有最后一块，对剩下的 $n-3$块的按什么顺序吃有影响。如前三块编号为 $1$， $2$， $3$， 那么 $123$（先吃第 $1$块，再吃第 $2$块，最后吃第 $3$块）， $213$对剩下 $n-3$块按什么顺序吃是没有影响的。也就是说，我们对于已经吃过的奶酪，只关心吃了哪几块，和最后一块吃了哪一块。由此，可以减少状态数。

刚刚介绍的也是状态压缩的基本思想。现在开始介绍状态压缩，设 $mask$表示 $n$位长度的二进制，第 $i$位（从右往左数， $i$从 $0$开始）为 $1$时表示吃了第 $i$块奶酪,为 $0$时表示还没吃第 $i$块奶酪。

如 $n=7$, $mask$在二进制表示下为 $0000111$，表示已经吃了第 $0$块,第 $1$块,第 $2$块奶酪，没有吃第 $3$块,第 $4$块,第 $5$块,第 $6$块奶酪；

如 $n=7$, $mask$在二进制表示下为 $1000101$，表示已经吃了第 $0$块,第 $2$块,第 $6$块奶酪，没有吃第 $1$块,第 $3$块,第 $4$块,第 $5$块奶酪。

那么DP的状态 $dp[mask][i]$表示在 $mask$状态，最后一块吃的是 $i$下的最小距离和。

输出吃了所有奶酪，最后一个吃的是 $i$下取一个最小值：
$\min\{dp[(1<<n)-1][i]\}, 0\leq i\leq n-1,$其中 $(1<<n)-1$二进制下的表示 $n$个 $1$,即吃了所有奶酪。

转移式：
$dp[mask][i] = \min\{dp[mask-(1<<i)][j]+dis(i,j)\},$
其中 $dis(i,j)$表示下标为 $i$和 $j$的距离； $mask$要包含 $i$和 $j$两个状态,即 $(mask\&(1<<i))>0$ and $(mask\&(1<<j))>0$.

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初始化：
$dp[1<<i][i]=\sqrt{x[i]*x[i]+y[i]*y[i]},0\leq i\leq n-1$;
其余点为无穷大。

代码：

/* ***********************************************
Author        : VFVrPQ
Created Time  : 三  3/ 4 14:21:47 2020
File Name     : luogu1433吃奶酪.cpp
Problem       : 
Description   : 
Solution      : 
Tag           : 
************************************************ */

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define DEBUG(x) cout<<x<<endl;
const int N = 17;
const int M = 1e9+7;
const int INF = 1e9+7;
const double eps = 1e-8;

int n;
double x[N], y[N];
double dp[1<<N][N];

double dis(double x1, double y1, double x2, double y2){
    return sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=0;i<n;i++){
        scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
    }
    //初始化
    int maxmask = 1<<n;
    for (int mask=0;mask<maxmask;mask++){
        for (int i=0;i<n;i++) dp[mask][i] = INF; // 初始化为极小值
    }
    for (int i=0;i<n;i++) dp[1<<i][i] = dis(0.0,0.0,x[i],y[i]);//走一步的
    for (int mask=0;mask<maxmask;mask++){
        for (int i=0;i<n;i++)if (mask&(1<<i)){
            for (int j=0;j<n;j++)if (mask&(1<<j)){
                if (fabs(dp[mask-(1<<i)][j]-INF)<eps) continue; // 
                dp[mask][i] = min(dp[mask][i], dp[mask-(1<<i)][j] + dis(x[i], y[i], x[j], y[j]));
            }
        }
    }
    double ans = INF;
    for (int i=0;i<n;i++) ans = min(ans, dp[maxmask-1][i]);
    printf("%.2lf\n", ans);
    return 0;
}