『动态规划·状态压缩·概率期望』礼物

题目描述

题解

首先普及一个知识点，每一件物品选到的概率是 $p_i$,则在所有物品里面至少选到一件的概率是： $\sum p_i$.

然后就是很明显的概率状压了。

我们设 $f[i]$表示状态为i的期望次数。

则一定有： $f[i]=\sum_{j\ in\ i}f[i去掉j]*p_j+(1-\sum_{j\ in\ i} p_j)*f[i]+1$

移项以后就有： $f[i]=\frac{\sum_{j\ in\ i}f[i去掉j]*p_j}{\sum_{j\ in\ i} p_j}+1$

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long 
using namespace std;
const int N = 21;

int n, sum = 0;
int v[N];
double p[N], f[1<<N];

signed main(void)
{
	freopen("gift.in","r",stdin);
	freopen("gift.out","w",stdout);
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;++i) 
	    cin>>p[i]>>v[i],
		sum += v[i];
	cout<<sum<<endl;
	for (int i=1;i<(1<<n);++i)
	{
		double sum = 0.000;
		for (int j=1;j<=n;++j)
		    if (((i >> j-1) & 1) == 1) 
		    {
		    	f[i] += p[j]*f[i^(1<<j-1)];
		    	sum += p[j];
			}
		f[i] = (f[i]+1)*1.0/sum;
	}
	printf("%.3lf",f[(1<<n)-1]);
	return 0;
} 

总结：

计算期望的时候，一个常见的套路就是上一部的期望乘上当前的概率+1.