codeforces 1312E
题意
有一个序列 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 。你可以做如下操作任意次：
- 选择序列中相邻并且值相等的两个数 \(a_i=a_{i+1}\)。
- 用 \(a_i+1\) 替换这两个数。
求最后序列的最短长度。
题解
如果我们知道某一区间是否可以通过操作规约为1个数，就可以通过动态规划求出答案。
所以我们需要 \(g[i][j]\) ，表示 \(a_i,a_{i+1},\cdots,a_j\) 能否通过操作规约成一个数。如果可以，\(g[i][j]=\)那个数，否则，\(g[i][j]=0\)。
求解 \(g\) 数组。如果一个长度大于一区间可以规约成一个数，那么这个区间必然可以分成两部分，两个部分可以独立规约为至一个相等的数，而后这两个数规约为一个。因此，我们可以按区间长度由小到大的顺序求出所有 \(g[i][j]\) 。
令 \(dp[i]\) 表示 \(a_1,a_2,\cdots,a_i\) 能得到的最短长度。转移如下：
\[ \begin{aligned} &j\in [1,i] \\ &dp[i] = min(dp[i],dp[j-1] + 1) &g[j][i]>0 \\ &dp[i] = min(dp[i],dp[j-1] + i - j + 1) &g[j][i]=0 \end{aligned} \]
\(dp[n]\) 就是答案。