C++(数据结构与算法)76:---贪婪算法(贪心算法)

• 贪婪算法又称贪心算法

一、最优化问题

• 本文及后面介绍的算法例子都是“最优化问题”。每个最优化问题都包含一组“限制条件”和一个“优化函数”。符合限制条件的问题求解方案称为“可行解”。使优化函数可能取得最佳值的可行解称为“最优解”

二、贪婪算法思想

• 在贪婪算法中，我们要逐步构造一个最优解。每一步，我们都在一定的标准下，作出一个最优决策。在每一步做出的决策，在以后的步骤中都不可更改。做出决策所依据的标准称为贪婪准则

三、实际应用之找零钱

问题描述

• 顾客用美元来购买糖果，售货员希望用数目最少的硬币找给小孩零钱。假设有面值为25美分、10美分、5美分以及1美分的硬币，而且数目不限
• 售货员每次选择一枚硬币，凑成要找的零钱。选择时所依据的是贪婪准则：在不超过要找的零钱总数的条件下，每一次都选择面试尽可能最大的硬币，直到凑成的零钱总数等于要找的零钱总数
• 问题描述：假设要找给顾客67美分

贪婪算法解决步骤

• 假设要找给顾客67美分：
  • 前两步选择的是两个25美元的硬币（第三步就不能选择25美元了，否则总数就超过67美分了）
  • 第三步选择10美分的硬币
  • 第四步选择5美分的硬币
  • 最后一步是两个1美分的硬币
• 贪婪算法使我们有一种感觉：这样凑出来的零钱，硬币数目最少或接近最少

四、实际应用之机器调度

应用分析

• 有任务n个，机器不限，任务在机器上处理。每个任务的开始时间为Si，任务的完成时间为Fi，Si<Fi。[Si，Fi]为任务i的处理时段
• 任务重叠：两个任务i和j重叠，当且仅当两个任务的处理时段有重叠。例如时段[1,4]与时段[2,4]有重叠，而[1,4]与时段[4,7]不算重叠
• 一人任务分配方案是可行的：是指没有两个时段重叠的任务分配给同一台机器，即每台机器在任何时刻最多只处理一个任务
• 最优分配：是指使用机器最少的可行分配方案

实际问题描述

• 假设n=7个任务，标号从a到g，它们的处理时段如下图所示：

• 问题描述：机器不限，现在要把这个7个任务分配到机器上运行，且要求总共使用的机器数目是最少的（时间不做要求）

贪婪算法解决步骤

• 贪婪准则步骤：根据任务的开始时间，若有“旧”机器可用，则将任务分配给它。否则，将任务分配给一台“新”机器
  • 旧机器是指：已经被使用过的
  • 新机器：重来没有被使用过的机器
• 根据任务的开始与结束时间，最终的执行结果如下图所示，所有的任务总在执行的过程中，共使用过3台机器

五、实际应用之最短路径

问题描述

• 一个有向网如下图所示，图中的数字代表两个节点之间的距离
• 现在有这样一个需求：从某一个点开始达到另外一个点，每一步都向路径上加入一个订单。假设当前的路径已经达到顶点q，但还未达到终点。要求下一次选择路径时：选择一个关联于q最近，且目前不在路径中的顶点

贪婪算法解决步骤

• 假设从顶点1达到顶点5，贪婪算法的解决办法为：
  • 第一步选择1->3的路径，长度为2
  • 第二步选择3->2的路径，长度为2
  • 第三步选择4->2的路径，长度为1
  • 第四步选择2->5的路径，长度为5
  • 因此总共的长度为10
• 备注（重点）：根据问题描述与贪婪算法，最终选择出的路径为10，但是不是最短路径（不是最优的）。例如可以执行1->4->5这条路径，长度总共为6。因此贪婪算法不一定是最优解

六、其他案例

• 例如，在哈夫曼树算法中（https://blog.csdn.net/qq_41453285/article/details/103649092），利用n-1步建立加权外部路径长最小的二叉树，每一步都将两个二叉树合并为一棵。算法所使用的贪婪算法为：从可用的二叉树中把权最小的两棵树组合为一棵树
• 例如，在LPT调度规则（https://blog.csdn.net/qq_41453285/article/details/103649089）也是一种贪婪算法。它用n步来调度n个作业。首先将作业按时间长短排序。然后每一步为下一个任务分配一台机器。依据的贪婪准则为：使目前的调度时间最短。将新作业调度到最先完成的机器上（即最先空闲的机器）。注意，这种问题中，贪婪算法并不能保证最优解

七、一些其他属于概念

• 通过上面一些问题可以知道，贪婪法则虽然不能保证最优解（例如上面的最短路径问题），但是一般情况下它的解总是接近最优的。这是一种经验法则。所得的结果通常都接近最优解，这种算法称为“启发式方法”
• 如果启发式方法与最佳犯法之间还有一种限定关系，那么我们我们称这种启发式方法具有“限定性能”
• 具有限定限定性能的启发式方法称为“近似算法”

八、贪婪算法实际应用

• 见下一篇文章：https://blog.csdn.net/qq_41453285/article/details/104447962