最短Hamilton路径_dp压缩_位运算

题目

给定一张 n

个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。
输入格式

第一行输入整数n

。

接下来n
行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j

的距离（记为a[i,j]）。

对于任意的x,y,z

，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。
输出格式

输出一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。
数据范围

1≤n≤20

0≤a[i,j]≤107

输入样例：

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0
输出样例：

18

代码前解释

这题如果用暴力解的话，运算次数太多，会爆掉

所以采用位运算dp压缩的方式来解决

需要考虑两个问题
1.哪些点被用过
2.目前停在哪个点上
这样的话运算次数就会被降到
2^20*20 =2*10⁷

f [state] [j]=f [state_k] [k]+weight[k] [j]
state_k 是state除掉j 的集合
state_k 包含K

用20位的十进制表示state 1表示存在 0表示不存在

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N=20,M=1<<20;
int n;
int f[M][N],weight[N][N];

int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
			cin>>weight[i][j];
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	for(int i=1;i<(1<<n);i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
			if((i>>j)&1)//判断现在是不是在j结点上
				for(int k=0;k<n;k++)
					if((i-(1<<j)>>k&1))
						f[i][j]=min(f[i][j],f[i-(1<<j)][k]+weight[k][j];
	cout<< f[(1<<n)-1][n-1]<<endl;
}

代码后解释

此代码难以理解的地方也是最核心的地方是

for(int i=1;i<(1<<n);i++) #第一层
		for(int j=0;j<n;j++) #第二层
			if((i>>j)&1)//判断现在是不是在j结点上
				for(int k=0;k<n;k++) #第三层
					if((i-(1<<j)>>k&1))
						f[i][j]=min(f[i][j],f[i-(1<<j)][k]+weight[k][j];

该代码段可以看成三层嵌套的类dfs
第一层：是代码从原点向外一层一层探索
第二层：主要是找位置，找接下来目标结点位置
第三层：找到最优路径，并保存，为下次循环做前提