背包九讲(三)——多重背包问题

背包九讲(三)——多重背包问题

参考了著名的背包九讲，可以在这里下载，绪前一篇的完全背包问题

1.1 问题

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有$M_i$件可用，放入第i件物品的费用是$C_i$，得到的价值是$W_i$。求解将哪些物品装入背包可使价值综合最大。

1.2 解题思路

如果看过之前的完全背包问题，这里的多重背包问题应该就能秒杀了，当时考虑过将完全背包转化为01背包问题求解，而多重背包其实就是加了限制的完全背包，当然也能转化为01背包问题。

方法是：将第 i 种物品分成若干件01背包中的物品，其中每件物品有一个系数。这件物品的费用和价值均是原来的费用乘以这个系数。令这些系数分别为$1,2,2^2,...,2^{k-1},M_i-2^K+1$，其中 k 是满足$M_i-2^k+1>0$的最大整数（其实就是保证系数和等于$M_i$）。举个栗子，$M_i$为13，则相应的$k=3$，所有系数为1,2,4,6。

1.3 示例代码

懒得写了~还得自己造数据，和01背包问题代码类似的

1.4 实战阶段

做几道题吧~

洛谷P1776 宝物筛选

题目描述：

终于，破解了千年的难题。小 FF 找到了王室的宝物室，里面堆满了无数价值连城的宝物。

这下小 FF 可发财了，嘎嘎。但是这里的宝物实在是太多了，小 FF 的采集车似乎装不下那么多宝物。看来小 FF 只能含泪舍弃其中的一部分宝物了。

小 FF 对洞穴里的宝物进行了整理，他发现每样宝物都有一件或者多件。他粗略估算了下每样宝物的价值，之后开始了宝物筛选工作：小 FF 有一个最大载重为 W 的采集车，洞穴里总共有 n 种宝物，每种宝物的价值为 $v_i$，重量为 $w_i$，每种宝物有 $m_i$件。小 FF 希望在采集车不超载的前提下，选择一些宝物装进采集车，使得它们的价值和最大。

输入输出格式以及样例跳过，请参考原题~

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其实非常简单，就是多重背包吧，和上面的思路一样，就是在01背包问题的基础上加了一层循环，直接上代码（附有注释！）

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main() {
    
    
	cin.sync_with_stdio(false), cin.tie(NULL);
	int n, wSum, k;
	cin >> n >> wSum;
	int* v = (int*)malloc(n * sizeof(int));	// 价值
	int* w = (int*)malloc(n * sizeof(int));	// 重量
	int* m = (int*)malloc(n * sizeof(int));	// 数量
	int* dp = (int*)malloc((wSum+1) * sizeof(int));

	memset(dp, 0, (wSum + 1) * sizeof(int));
	for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
		cin >> v[i] >> w[i] >> m[i];
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
		for (k = 1; k < (m[i]+1)/2; k*=2) {
    
    		// 穷举前面的二进制项系数
			for (int j = wSum; j >= k * w[i]; j--) {
    
    
				dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * w[i]] + k * v[i]);
			}
		}
		k = m[i] - k + 1;		// 最后一个系数，保证系数和为m[i]
		for (int j = wSum; j >= k * w[i]; j--) {
    
    
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * w[i]] + k * v[i]);
		}
	}
	cout << dp[wSum] << endl;
	free(v);
	free(w);
	free(dp);
	return 0;
}