一、基本原理

1、LFM模型实在推荐系统中非常常用的模型，它的核心思想就是通过隐形特征（latent factor）联系用户的兴趣和特征。在原理中隐形特征数量K是人为经验制定，该参数对推荐效果影响较大，是LFM重要参数之一。

2、如果要根据用户兴趣对物品分类，那么主要解决的问题包括：

如何对物品进行分类；
如何确定用户对哪些物品感兴趣，即计算出用户对某个物品的兴趣度；
在某一已经分好的类中，如体育类，如何将该类中的物品如篮球、足球等更好的推荐给用户；

3、如果用人工分类解决那么当商品类数很大就会出现人工成本急剧上升，而且人工会产生主观和专业限制因素。相比于人工分类，LFM算法采用的用户客观行为数据，模型结果分类能够代表用户主观想法，而且成本更低，所以该模型具有更好的商业适用性。

4、相比于基于用户或者商品的协同过滤，LFM模型的数学意义更加清晰，以下是LFM模型的数学推导过程：

上图中 $u_{i}$ 代表用户， $k_{i}$ 代表定义的隐分类个数， $I_{j}$ 代表物品， $p_{1,k}$ 代表用户 $u_{1}$ 对k隐类的关系， $q_{1,k}$ 代表物品 $I_{1}$ 与第k隐类的权重系数，系数越大说明 $I_{1}$ 与k类的关系程度越高。那么用户 $u_{1}$ 对物品 $I_{1}$ 的兴趣度如何计算方式就是

$preference(1,1)=r_{1,1}=\sum_{k=1}^{K}p_{1,k}q_{1,k}$

将用户和物品扩大到整个用户和物品空间得出 $u_{i}$ 对 $I_{j}$ 的兴趣计算方式为

$preference(i,j)=r_{i,j}=\sum_{k=1}^{K}p_{i,k}q_{j,k}$

上述公式中 $p_{i,k}$ ， $q_{j,k}$ 以及隐类数K都是未知的，其中K决定分类的粒度是粗还是细。

二、模型求解

上述LFM算法的网络构造思路非常类似于神经网络，所以对于该算法的求解思路可以分为两种：

1、可以用最大似然函数来求解，这种算法是从概率学的角度求解，如果有兴趣可以去查询这种方式的求解方法，这里我主要推荐用第二种方法求解；

2、将这种算法转化为求解损失函数极小值的方式，通过梯度下降法来求解模型系数。

损失函数构造方法

$Loss=\sum_{i,j}(r_{i,j}-\tilde{r}_{i,j})^{2}=\sum_{i,j}(r_{i,j}-\sum_{k=1}^{K}p_{i,j}q_{i,j})^{2}+\lambda\left \| p_{i} \right \|^{2}+\lambda \left \| q_{j} \right \|^{2}$

其中 $\tilde{r}_{i,j}$ 为预测的兴趣度， $r_{i,j}$ 为用户实际对商品兴趣度，损失函数loss就是他们的误差平方和。 $\left \| p_{i} \right \|^{2}$ 和 $\left \| q_{j} \right \|^{2}$ 为惩罚系数，其作用就是为了防止过拟合，因为当K足够大时总能找到一组参数使得loss达到最小，但是很容易过拟合， $\lambda$ 参数可以用来控制拟合程度，值越大惩罚越重越不容易发生过拟合。