欧拉计划 - Problem 613
戴夫正在阳台上做家庭作业；为了准备一个关于毕达哥拉斯三角形的展示，他刚刚从硬纸板上剪下了一个边长分别为30厘米、40厘米和50厘米的三角形，这时一阵风吹来把三角形吹到了花园中。
另一阵风把一只小蚂蚁径直吹到了三角形上。这只可怜的蚂蚁完全迷失了方向，只能随机选了个方向一直向前爬，想要回到草丛中。
假设蚂蚁等可能地落在三角形内的任意位置并选择了任意方向，那么它最终从最长边离开三角形的概率是多少？ 将你的答案四舍五入到小数点后10位小数。
解决方法
首先根据题目，设蚂蚁位置(x,y)，如图所示：
令蚂蚁在点(x,y)由最长边离开的概率为P(x,y)，
则：P(x,y) = θ / 2π
由三角形相似得：θ = π - (β - α)
由tanα = x / (40 - y)
得：α = arctan(x / (40 - y))
由tanβ = (30 - x) / y
得：β = arctan((30 - x) / y)
即：P(x,y) = (π - (arctan((30 - x) / y) - arctan(x / (40 - y)))) / 2π
设三角形面积为S，则：S = 600
由于蚂蚁等可能地落在三角形内的任意位置并选择了任意方向，而三角形最长边所在直线方程为4x + 3y = 120，设蚂蚁由最长边离开的概率为P，
得：P = (∬P(x,y)dydx) / S
使用py运算：
import scipy.integrate
from numpy import exp
from math import sqrt
import math
f = lambda x, y : (math.pi - (math.atan((30 - x) / y) - math.atan(x / (40 - y)))) / (2 * math.pi)
g = lambda x : 0
h = lambda x : 40 - 4 * x / 3
v, err = scipy.integrate.dblquad(f, 0, 30, g, h)
P = v / 600
print(P)
exit()
