Problem I. Count HDU - 6434(欧拉函数)

Problem I. Count HDU - 6434

 Multiple query, for each n, you need to get
n i-1
∑ ∑ [gcd(i + j, i - j) = 1]
i=1 j=1 

Input
On the first line, there is a positive integer T, which describe the number of queries. Next there are T lines, each line give a positive integer n, as mentioned above.
T<=1e5, n<=2e7
Output
Your output should include T lines, for each line, output the answer for the corre- sponding n.
Sample Input

4
978
438
233
666

Sample Output

194041
38951
11065
89963

题意：

求上述公式

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1}[gcd(i+j,i-j)==1]$$

思路：

在求解 $ans时，首先我们考虑小于 n 的 i， 我们要check 如题意满足的 gcd(a, b) 是否为1，也就是 a 跟 b$ 是否互质

也就$是对于 i 我们要找满足 （a+b=2i）并且（a b互质） 的对数，$

这时我们需要一个规律：$a与b互质，那么 a，b 分别与 （a+b）互质，即a，b与2i互质$，这样的话我们求满足 $i 条件下的gcd=1$对数的时候，只要求$\frac{\phi(2i)}{2} 就好了，求ans$的话 就是求前缀和

证明：$若a与b互质，那么 a，b 分别与 （a+b）$互质 ：
先假设 $a 与 (a+b) 不互质，那么令他们的gcd = t， a=t\cdot x, (a+b) = t\cdot y$
那么 $b = t\cdot y - t\cdot x = t \cdot (y-x) ,这样 a，b就会有公因子 t ，矛盾，所以 a 与 (a+b) 互质$
同理可证$b$

注意使用线性求欧拉函数和素数的方法，否则会超时。

code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 4e7+7;
const int maxd = 2e7+7;
const int mod = 998244353;
int phi[maxn],prim[maxn];
ll sum[maxn];
void init(){
    memset(phi,0,sizeof(phi));
    phi[1] = 1;
    int id = 0;
    for(int i = 2; i < maxn; i++){
        if(!phi[i]){
            phi[i] = i - 1;
            prim[id++] = i;
        }
        for(int j = 0; j < id && prim[j] * i < maxn; j++){
            if(i % prim[j]){
                phi[i*prim[j]] = phi[i] * (prim[j] - 1);
            }
            else{
                phi[i*prim[j]] = phi[i] * prim[j];
                break;
            }
        }
    }
    sum[1] = 0;
    for(int i = 2; i < maxd; i++){
        sum[i] = phi[i*2] / 2;
        sum[i] += sum[i-1];
    }
}
int main(){
    init();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int n;
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",sum[n]);
    }
    return 0;
}