【动归】B016_最大和的子序列（dp）

一、题目描述

Given an integer array nums, find the contiguous subarray (containing at least one number) 
which has the largest sum and return its sum.

Input: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
Output: 6
Explanation: [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

二、题解

方法一：dp

• 定义状态：
  • $dp[i]$ 表示位置 i 的 MS。
• 思考状态转移方程：
  • $dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i],\ nums[i])$
• 思考初始化：
  • $dp[0] = nums[0]$
• 思考输出： $max(dp[0...N])$
• 空间压缩：是可以的，只是我不想在想了。

public int maxSubArray(int[] nums) {
  final int N = nums.length;
  int[] dp = new int[N];
  dp[0] = nums[0];
  int max = nums[0];
  for (int i = 1; i < N; i++) {
    dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);
    max = Math.max(max, dp[i]);
  }
  return max;
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(N)$，
• 空间复杂度： $O(N)$，

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方法二：暴力法

做到后面，都不想用暴力了，一开始就用 dp，这里给出暴力的做法：

• 使用双层循环，穷举所有的子区间；
• 对每个子区间内的所有元素求和，得出最大和；

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(N^3)$，
• 空间复杂度： $O(1)$，