背包九讲 附Acwing模板题AC代码

其他 2020-03-08 09:21:57 阅读次数: 0

文章目录

推荐博客

背包九讲原文
背包九讲——全篇详细理解与代码实现
本博客对基础内容不进行解释，基础薄弱的可以与上述博客一起食用。

01 01 背包

例题

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=1005;

int n,m;
int v[maxn],w[maxn],dp[maxn];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);//体积 价值
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=m;j>=w[i];j--)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    printf("%d\n",dp[m]);
    return 0;
}

完全背包

在这里插入图片描述可以不写这个优化，但是思想要理解，下面也会用到。
例题

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=1005;

int n,m;
int v[maxn],w[maxn],dp[maxn];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);//体积 价值
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=w[i];j<=m;j++)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    printf("%d\n",dp[m]);
    return 0;
}

多重背包

朴素版

例题
t i p s ： tips： 太慢了，基本不会用这种方法。

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=105;

int n,m;
int v[maxn*maxn],w[maxn*maxn],dp[maxn];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int len=0,s;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&w[len],&v[len],&s);//体积 价值 数量
        ++len,--s;
        while(s--)
            w[len]=w[len-1],v[len]=v[len-1],++len;
    }
    for(int i=0;i<len;i++)
        for(int j=m;j>=w[i];j--)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    printf("%d\n",dp[m]);
    return 0;
}

二进制优化

基本思想：把 n n 件物品用二进制形式表示出来，即 1 , 2 , 4 , … … , 2 k − 1 , n + 1 − 2 k 1,2,4,……,2^{k-1},n+1-2^k 。且 k k 满足： n < 2 k + 1 − 1 n<2^{k+1}-1 。
正确性证明：首先 1 , 2 , 4 , … … , 2 k − 1 1,2,4,……,2^k-1 可以表示 [ 1 , 2 k − 1 ] [1,2^k-1] 的任意数，两端都加上 n + 1 − 2 k n+1-2^k 后可以表示 [ n + 2 − 2 k , n ] [n+2-2^k,n] 的任意数，由于 n < 2 k + 1 − 1 n<2^{k+1}-1 ，所以 n + 2 − 2 k < 2 k + 1 − 1 + 2 − 2 k = 2 k + 1 n+2-2^k<2^{k+1}-1+2-2^k=2^k+1 ，即 n + 2 − 2 k < = 2 k n+2-2^k<=2^k ，所以这些数可以表示的范围为 [ 1 , n ] [1,n] 。
这个应该是最常用的优化了，复杂度为 O ( V ∗ ∑ i = 1 n l o g ( n u m [ i ] ) ) O(V*\sum_{i=1}^{n}log(num[i])) 。

例题

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=2005;

int n,m;
int v[10*maxn],w[10*maxn],dp[maxn];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int len=0,a,b,c;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);//体积 价值 数量
        int tmp=1;
        while(tmp<=c)
        {
            c-=tmp;
            w[len]=tmp*a;
            v[len++]=tmp*b;
            tmp<<=1;
        }
        w[len]=c*a;
        v[len++]=c*b;
    }
    for(int i=0;i<len;i++)
        for(int j=m;j>=w[i];j--)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    printf("%d\n",dp[m]);
    return 0;
}

单调队列优化

证明：这个写的挺好的，倒数第 2 、 6 、 7 2、6、7 行有一点点笔误。
倒数第 2 2 行，应该是 f [ i ] [ j ] = m a x ( f [ i − 1 ] [ j    m o d    w + k ∗ w ] − k ∗ v ) + j / w ∗ v f[i][j]=max(f[i-1][j\ \ mod\ \ w+k*w]-k*v)+j/w*v 。
倒数第 6 、 7 6、7 行开始的 + w +w 应该修改为 + v +v 。
在这里插入图片描述确实比较难理解，不过优化很给力，复杂度为 O ( n ∗ V ) O(n*V) 。

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=2e4+5;

struct node //单调队列要用到
{
    int idx,val;
    node(){}
    node(int i,int v):idx(i),val(v){}
}q[maxn];

int n,m;
int dp[maxn];

inline void cal(int v,int w,int c)//体积 价值 数量
{
    int fon,bak,tmp;
    for(int i=0;i<v;i++)
    {
        fon=bak=0;//fon=bak 时队列为空 fon<bak 时队列非空
        for(int j=i,k=0;j<=m;j+=v,++k)
        {
            tmp=dp[j]-k*w;
            if(fon<bak&&k-q[fon].idx>c)
                ++fon;
            while(fon<bak&&tmp>=q[bak-1].val)
                --bak;
            q[bak++]=node(k,tmp);
            dp[j]=q[fon].val+k*w;
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int a,b,c;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);//体积 价值 数量
        cal(a,b,c);
    }
    printf("%d\n",dp[m]);
    return 0;
}

混合背包

例题

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=1005;

int n,m;
int w[maxn],v[maxn],dp[maxn];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int s,len;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&w[i],&v[i],&s);//体积 价值 数量
        if(s==-1) //01背包
        {
            for(int j=m;j>=w[i];j--)
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
        else if(s==0) //完全背包
        {
            for(int j=w[i];j<=m;j++)
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
        else //多重背包
        {
            int a=w[i],b=v[i],tmp=1;
            len=0;
            while(tmp<=s)
            {
                s-=tmp;
                w[len]=a*tmp;
                v[len++]=b*tmp;
                tmp<<=1;
            }
            w[len]=a*s;
            v[len++]=b*s;
            for(int j=0;j<len;j++)
                for(int k=m;k>=w[j];k--)
                    dp[k]=max(dp[k],dp[k-w[j]]+v[j]);
        }
    }
    printf("%d\n",dp[m]);
    return 0;
}

二维费用背包问题

解决方法同一维背包，只不过数组多了一维。
在这里插入图片描述例题

扫描二维码关注公众号，回复： 9654735 查看本文章 
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=1005;

int n,V,M;
int v[maxn],m[maxn],w[maxn],dp[maxn][maxn];

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&V,&M);//数量 背包容积 背包可承重量
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d%d%d",&v[i],&m[i],&w[i]);//体积 重量 价值
    for(int i=0;i<n;i++) //01 二维背包
        for(int j=V;j>=v[i];j--)
            for(int k=M;k>=m[i];k--)
                dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-v[i]][k-m[i]]+w[i]);
    printf("%d\n",dp[V][M]);
    return 0;
}

分组背包

在这里插入图片描述
例题

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=105;

int n,m;
int w[maxn][maxn],v[maxn][maxn],dp[maxn],s[maxn];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);//物品组数 背包容量
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d",&s[i]);//第i组物品的物品数量
        for(int j=0;j<s[i];j++)
            scanf("%d%d",&w[i][j],&v[i][j]);//体积 价值
    }
    for(int i=0;i<n;i++)//第i组
        for(int j=m;j>=0;j--)//注意循环顺序 保证该组只选1个
            for(int k=0;k<s[i];k++)
                if(j>=w[i][k])
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i][k]]+v[i][k]);
    printf("%d\n",dp[m]);
    return 0;
}

有依赖背包问题

在这里插入图片描述上图算法这一块内容非常关键，建议多读几遍好好体会。
在这里插入图片描述例题
复杂度 O ( n ∗ V 2 ) O(n*V^2) 

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=105;

struct Edge
{
    int to,nxt;
}edge[maxn<<1];

int n,m,tot;
int head[maxn];
int val[maxn],w[maxn],dp[maxn][maxn];
    //dp[i][j]表示在以i为根的子树中 背包容量为j时的最优解
inline void addedge(int u,int v)
{
    edge[++tot].to=v,edge[tot].nxt=head[u],head[u]=tot;
}

void dfs(int u,int fa)
{
    int v;
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
    {
        v=edge[i].to;
        if(v==fa)
            continue;
        dfs(v,u);//递归处理子节点
        for(int j=m-w[u];j>=w[v];j--)//分组背包 由于u必选 所以j的上限为m-w[u]
            for(int k=j;k>=w[v];k--) //由于v必选 所以k的下限为w[v]
                dp[u][j]=max(dp[u][j],dp[u][j-k]+dp[v][k]);
    }
    for(int j=m;j>=w[u];j--) //有依赖关系 所以必须选上节点u
        dp[u][j]=dp[u][j-w[u]]+val[u];
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int s,root;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&w[i],&val[i],&s);//体积 价值 依赖的物品编号
        if(s==-1)
            root=i;
        else
            addedge(s,i),addedge(i,s);
    }
    dfs(root,root);
    printf("%d\n",dp[root][m]);
    return 0;
}

泛化物品

在这里插入图片描述在这里插入图片描述

背包问题问法的变化

输出字典序最小的最优方案

在这里插入图片描述感觉上面有一处笔误，倒数第二行应该是 f [ i ] [ j ] = = f [ i − 1 ] [ j ] f[i][j]==f[i-1][j] 。
例题

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=1005;

int n,m;
int v[maxn],w[maxn],dp[maxn][maxn];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=n;i>=1;i--) //逆序读入
        scanf("%d%d",&w[i],&v[i]); //体积 价值
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=w[i];j--)
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
        for(int j=w[i]-1;j>=0;j--)
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
    }
    int val=m;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        if(val>=w[i]&&dp[i][val]==dp[i-1][val-w[i]]+v[i])
        {
            val-=w[i];
            printf("%d ",n-i+1);
        }
    }
    return 0;
}

输出最优解的方案数

在这里插入图片描述例题

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=1005;
const int mod=1e9+7;

int n,m;
int v[maxn],w[maxn],dp[maxn],num[maxn];

//dp[i]表示恰好装满体积为i的背包时所能得到的最大价值
//num[i]表示背包内物品体积之和为i时的方案数
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) //逆序读入
        scanf("%d%d",&w[i],&v[i]); //体积 价值
    memset(dp,-INF,sizeof(dp));
    dp[0]=0,num[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=w[i];j--)
        {
            if(dp[j]<dp[j-w[i]]+v[i])
            {
                dp[j]=dp[j-w[i]]+v[i];
                num[j]=num[j-w[i]];
            }
            else if(dp[j]==dp[j-w[i]]+v[i])
                num[j]=(num[j]+num[j-w[i]])%mod;
        }
    }
    int ans=0,MAX=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        MAX=max(MAX,dp[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(dp[i]==MAX)
            ans=(ans+num[i])%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

第 k k 优解

在这里插入图片描述

int kth(int n, int V, int k) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = V; j >= w[i]; j--) {
            for (int l = 1; l <= k; l++) {
                a[l] = f[j][l];
                b[l] = f[j - w[i]][l] + v[i];
            }
            a[k + 1] = -1;
            b[k + 1] = -1;
            int x = 1, y = 1, o = 1;
            while (o != k + 1 and (a[x] != -1 or b[y] != -1)) {
                if (a[x] > b[y]) f[j][o] = a[x], x++;
                else f[j][o] = b[y], y++;
                if (f[j][o] != f[j][o - 1]) o++;
            }
        }
    }
    return f[V][k];
}

例题

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=1005;

int n,m,k;
int v[maxn],w[maxn],dp[maxn][35];
int a[maxn],b[maxn];

void kth(int n,int V,int k)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=V;j>=w[i];j--)
        {
            for(int l=1;l<=k;l++)
                a[l]=dp[j][l],b[l]=dp[j-w[i]][l]+v[i];
            a[k+1]=-1,b[k+1]=-1;
            int x=1,y=1,id=1;
            while(id<=k&&(a[x]!=-1||b[y]!=-1))
            {
                if(a[x]>b[y])
                    dp[j][id]=a[x],++x;
                else
                    dp[j][id]=b[y],++y;
                if(dp[j][id]!=dp[j][id-1])
                    ++id;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&v[i]); //价值
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&w[i]); //体积
        kth(n,m,k);
        printf("%d\n",dp[m][k]);
    }
    return 0;
}
csu_xiji
发布了677 篇原创文章 · 获赞 30 · 访问量 4万+
他的留言板 关注

猜你喜欢

转载自blog.csdn.net/xiji333/article/details/104226993
今日推荐
《美国对全球网络空间安全与发展的威胁和破坏》报告发布
火速冲上 GitHub 热榜 —— 开源编程语言、框架哪有这么可爱？
北京人形机器人创新中心发布全球首个纯电驱拟人奔跑的全尺寸人形机器人“天工”
LFOSSA 源来如此公开课 | 掌握云原生未来：CNCF 认证全面攻略与备考秘籍
周排行
让自己的头脑极度开放
CentOS 6.5(x64) 和Redhat6.5操作系误删libc
高可用注册中心
【日记】12.28/【题解】AtCoder AGC041
XML（5）_XML 约束_DTD
Java集合Map（四）
树梅派安装桌面环境教程
pipenv 的 使用和安装
小程序白屏问题和内存研究
C语言简单选择排序
每日归档
更多
2024-05-02(0)
2024-05-01(4)
2024-04-30(1)
2024-04-29(40)
2024-04-28(0)
2024-04-27(56)
2024-04-26(39)
2024-04-25(22)
2024-04-24(36)
2024-04-23(26)

代码天地 © 2018 codetd.com

境外服务器   最新电视剧2022