背包九讲（仅提供代码回忆）

（壹）01背包

有N个物品和一个体积为V的背包，每个物品体积为v[i]，价值为w[i]，问背包可收纳的最大价值。

时间复杂度O(N*V)。

/*
f[m]即为答案。
如果要表示恰好去体积为V的物品，
可以把除f[0]外全置为负无穷，
以保证是f[m]从f[0]推来的。
*/
#include<iostream>
using namespace std;
int N,V;
int v[1010],w[1010],f[1010];
int main()
{
    cin>>N>>V;
    for(int i=0;i<N;i++)
        cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=0;i<N;i++)
        for(int j=V;j>=v[i];j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    cout<<f[V]<<endl;
    return 0;
}

　　

（贰）完全背包

有N种物品和一个体积为V的背包，每种物品体积为v[i]，价值为w[i]，且每种物品有无限个，问背包可收纳的最大价值。

时间复杂度O(N*V)。

/*
f[m]即为答案。
如果要表示恰好去体积为V的物品，
可以把除f[0]外全置为负无穷，
以保证是f[m]从f[0]推来的。
*/
#include<iostream>
using namespace std;
int N,V;
int v,w,f[1010];
int main()
{
    cin>>N>>V;
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        cin>>v>>w;
        for(int j=v;j<=V;j++)
            f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);
    }
    cout<<f[V]<<endl;
    return 0;
}

　　

（叁）多重背包

有N种物品和一个V体积背包，每种物品体积为v[i]，价值为w[i]，个数为s[i]，问背包可收纳的最大价值。

1. 基本解法，时间复杂度O(N*∑si)。

   #include<iostream>
   using namespace std;
   int N,V;
   int v,w,s,f[1010];
   int main()
   {
       cin>>N>>V;
       for(int i=0;i<N;i++)
       {
           cin>>v>>w>>s;
           for(int j=V;j>=v;j--)
               for(int k=1; k<=s && k*v<=j ;k++)
               f[j]=max(f[j],f[j-k*v]+k*w);
       }
       cout<<f[V]<<endl;
       return 0;
   }
   

   　　

2. 二进制优化，时间复杂度O(N*∑ log s[i])。

   #include<iostream>
   using namespace std;
   int N,V;
   int f[2020];
   int v[11010],w[11010];
   int cnt=0;
   //2的11次方大于2000，故开11倍
   int main()
   {
       int x,y,z;
       cin>>N>>V;
       for(int i=0;i<N;i++)
       {
           cin>>x>>y>>z;
           for(int j=1;j<=z;j<<=1)
           {
               v[cnt]=j*x;
               w[cnt++]=j*y;
               z-=j;
           }
           if(y)
           {
               v[cnt]=z*x;
               w[cnt++]=z*y;
           }
       }
       for(int i=0;i<cnt;i++)
           for(int j=V;j>=v[i];j--)
               f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
       cout<<f[V]<<endl;
       return 0;
   }
   

   　　

3. 优先队列优化，时间复杂度O(NV)。