有关“凸多边形最优三角剖分的问题”，这是《计算机算法设计与分析》（王晓东编著 第三版）第三章“动态规划”中的一道例题，代码如下：
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“Point.h”
class
Point{
public
:
int
x;
int
y;
};
"MWTri.cpp"
#include<iostream>
#include"math.h"
#include"Point.h"
using
namespace
std;
#define MAX 100
int
t[MAX][MAX];
int
s[MAX][MAX];
int
w(Point pt1,Point pt2,Point pt3){
int
d1=(
int
)
sqrt
((pt2.y-pt1.y)*(pt2.y-pt1.y)+(pt2.x-pt1.x)*(pt2.x-pt1.x));
int
d2=(
int
)
sqrt
((pt3.y-pt1.y)*(pt3.y-pt1.y)+(pt3.x-pt1.x)*(pt3.x-pt1.x));
int
d3=(
int
)
sqrt
((pt3.y-pt2.y)*(pt3.y-pt2.y)+(pt3.x-pt2.x)*(pt3.x-pt2.x));
return
d1+d2+d3;
}
void
MinWeightTriangulation(Point * point,
int
n,
int
t[][MAX],
int
s[][MAX]){
for
(
int
i=1;i<=n;i++) t[i][i]=0;
for
(
int
r=2;r<=n;r++)
for
(
int
i=1;i<=n-r+1;i++){
int
j=i+r-1;
t[i][j]=t[i+1][j]+w(point[i-1],point[i],point[j]);
s[i][j]=i;
for
(
int
k=i+1;k<j;k++){
int
u=t[i][k]+t[k+1][j]+w(point[i-1],point[k],point[j]);
if
(u<t[i][j]){
t[i][j]=u;
s[i][j]=k;
}
}
}
}
void
main(){
Point pt[5];
pt[0].x=4;
pt[0].y=1;
pt[1].x=3;
pt[1].y=2;
pt[2].x=2;
pt[2].y=2;
pt[3].x=1;
pt[3].y=1;
pt[4].x=1;
pt[4].y=0;
//pt[5].x=4;
//pt[5].y=1;
/*for(int m=1;m<=4;m++)
for(int n=1;n<=4;n++)
s[m][n]=0;*/
MinWeightTriangulation(pt,4,t,s);
for
(
int
m=1;m<=4;m++)
for
(
int
n=1;n<=4;n++)
cout<<m<<
" "
<<n<<
" "
<<s[m][n]<<endl;
}
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程序运行结果如下：
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1 1 0
1 2 1
1 3 1
1 4 1
2 1 0
2 2 0
2 3 2
2 4 2
3 1 0
3 2 0
3 3 0
3 4 3
4 1 0
4 2 0
4 3 0
4 4 0
Press any key to
continue
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#include "windows.h"
#include <iostream>
using
namespace
std;
/*
问题描述:
把多边形0,...,n-1剖分成n-2个三角形,求给定的权值最小
本程序定义权为:剖分弦的长度和
程序功能:
用两种方法求解上述问题(针对任意权的和针对本问题的)
解法本质都是动态规划
PS :
动态规划很难,本程序难免会有错误,但是基本思路是正确的
注释得很详细了
*/
const
V = 5;
//5个顶点
void
LoadData(
float
dist[][V]);
/*
解法1:
重新定义权为:剖分弦的长度和加上多边形的周长(显然等价),重新求解
本函数还适用于任何定义在剖分后的三角形上的权的情况(修改一下)
例如权为三角形的面积的面积平方和
*/
void
minWeightTriangulation1(
int
n,
float
dist[][V],
float
t[][V],
int
s[][V]);
void
ShowSolution1(
int
s[][V],
int
i,
int
j);
/*
解法2:
针对此问题的求解方法,不具有普遍适用性
*/
void
minWeightTriangulation2(
int
n,
float
dist[][V],
float
t[][V+1],
int
s[][V+1]);
void
ShowSolution2(
int
s[][V+1],
int
i,
int
j);
void
end();
int
main()
{
float
dist[V][V];
float
t1[V][V];
int
s1[V][V];
float
t2[V+1][V+1];
int
s2[V+1][V+1];
LoadData(dist);
minWeightTriangulation1(V, dist, t1, s1);
cout<<
"最优剖分权:"
<<t1[1][4] - 2 - 1.414 * 3<<
"\t剖分弦:\t"
;
//要减去周长
ShowSolution1(s1, 1, 4);
cout<<endl;
minWeightTriangulation2(V, dist, t2, s2);
cout<<
"最优剖分权:"
<<t2[0][5]<<
"\t剖分弦:\t"
;
ShowSolution2(s2, 0, 5);
cout<<endl;
return
0;
}
void
LoadData(
float
dist[][V])
{
dist[0][1] = dist[1][0] = 1;
dist[1][2] = dist[2][1] = 1;
dist[2][3] = dist[3][2] = 1.414;
dist[3][4] = dist[4][3] = 1.414;
dist[4][0] = dist[0][4] = 1.414;
dist[0][2] = dist[2][0] = 1.414;
dist[0][3] = dist[3][0] = 2;
dist[1][3] = dist[3][1] = 2.236;
dist[1][4] = dist[4][1] = 2.828;
dist[2][4] = dist[4][2] = 2;
}
float
Weight(
float
dist[][V],
int
i,
int
j,
int
k)
{
return
dist[i][j] + dist[j][k] + dist [k][i];
}
void
minWeightTriangulation1(
int
n,
float
dist[][V],
float
t[][V],
int
s[][V])
{
/*
t[i][j]表示顶点为i-1,i,...,j的多边形的最优三角剖分值
s[i][j]表示顶点为i-1,i,...,j的多边形的最优三角剖分方法,剖分点为s[i][j]
退化情况1:s[i][j]==i 剖分成 三角形i-1,i,j 和 多边形i,...,j
退化情况2:s[i][j]==j-1 剖分成 多边形i-1,...,j-1和 三角形i-1,j-1,j
一般情况:k = s[i][j] 剖分成 多边形i-1,...,k 和 多边形 k,...,j
权的定义:多边形的周长+剖分的弦长,所以对两种特殊情况进行了处理
*/
for
(
int
i = 1; i < n; i++)
t[i][i] = 0;
//只有两个顶点认为权是0
for
(
int
r = 2; r < n; r++)
//r+1边形
{
for
(i = 1; i <= n - r; i++)
{
int
j = i + r -1;
/*当i-1,i,j是相邻三个顶点时(r==2),权为
t[i+1][j] + Weight(dist, i-1, i, j)
否则,权为
t[i+1][j] + Weight(dist, i-1, i, j) - dist[i][j]
因为t[i+1][j]和eight(dist, i-1, i, j)分别计算了
一次dist[i][j]
*/
t[i][j] = t[i+1][j] + Weight(dist, i-1, i, j) -
(r==2?0:dist[i][j]);
s[i][j] = i;
for
(
int
k = i + 1; k < j; k++)
{
/*
当取剖分i-1,j-1时权为
t[i][k] + t[k+1][j] + dist[i-1][j] + dist[k][j]
因为t[k+1][j]退化,权为0,故把边dist[k][j]补上
否则权为t[i][k] + t[k+1][j] + dist[i-1][j]
*/
float
u = t[i][k] + t[k+1][j] + dist[i-1][j] +
(k+1==j?dist[k][j]:0);
if
(u<t[i][j])
{
t[i][j] = u;
s[i][j] = k;
}
}
}
}
}
void
ShowSolution1(
int
s[][V],
int
i,
int
j)
{
if
(i + 1 >= j)
return
;
int
k = s[i][j];
if
(k == i)
{
//退化情况1:s[i][j]==i 剖分成 三角形i-1,i,j 和 多边形i,...,j
cout<<
'('
<<i<<
','
<<j<<
") "
;
ShowSolution1(s, i+1, j);
}
else
if
(k==j-1)
{
//退化情况2:s[i][j]==j-1 剖分成 多边形i-1,...,j-1和 三角形i-1,j-1,j
ShowSolution1(s, i, j-1);
cout<<
'('
<<i-1<<
','
<<j-1<<
") "
;
}
else
{
//一般情况:k = s[i][j] 剖分成 多边形i-1,...,k 和 多边形 k,...,j
ShowSolution1(s, i, k);
cout<<
'('
<<i-1<<
','
<<k<<
") "
;
cout<<
'('
<<k<<
','
<<j<<
") "
;
ShowSolution1(s, k+1, j);
}
}
float
Distance(
float
dist[][V],
int
i,
int
j)
{
if
(i == (j + 1)%V || j == (i +1)%V)
return
0;
return
dist[i][j];
}
void
minWeightTriangulation2(
int
n,
float
dist[][V],
float
t[][V+1],
int
s[][V+1])
{
/*
t[i][j]表示从顶点i开始的j个顶点围成的多边形(j边形)的最优剖分的权
s[i][j]表示从顶点i开始的j个顶点围成的多边形(j边形)的最优剖分的方法,
剖分点为 i + s[i][j]
退化情况1:s[i][j]==1 剖分成 三角形i,i+1,i+j-1 和 多边形 i+1,...,i+j-1
退化情况2:s[i][j]==j-2剖分成 多边形i,...,i+j-2 和 三角形 i,i+j-2,i+j-1
一般情况 :k = s[i][j] 剖分成 多边形i,...,i+k 和 多边形 i+k,...,i+j-1
*/
const
MAX = 10000;
float
temp, q;
int
kk;
for
(
int
k = 0; k < n; k++)
{
t[k][2] = 0;
t[k][3] = 0;
}
for
(
int
r = 4; r <= n; r++)
for
(
int
i = 0; i < n; i++)
{
for
(q = MAX, kk = 1; kk <= r - 2; kk++)
{
/*
划分成子问题
多边形i,...,i+kk 和 多边形 i+kk,...,i+r-1
划分弦为 (i, ((i+kk)%n) 和 ((i+kk)%n, (i+r-1)%n)
由于Distance函数中相邻弦长度为0,故退化情况自动包含
*/
temp = t[i][(kk+1)%n] + t[(i+kk)%n][(n+r-kk)%n] +
Distance(dist, i, ((i+kk)%n) ) +
Distance(dist, (i+kk)%n, (i+r-1)%n);
if
(temp < q)
{
k = kk;
q = temp;
}
}
t[i][r] = q;
s[i][r] = k;
if
(r==n)
break
;
//一旦r==n可以马上跳出本层循环
}
}
void
ShowSolution2(
int
s[][V+1],
int
i,
int
j)
{
if
(j<=3)
return
;
int
k = s[i][j];
if
(k==1)
{
//退化情况1:s[i][j]==1 剖分成 三角形i,i+1,i+j-1 和 多边形 i+1,...,i+j-1
cout<<
'('
<<i+1<<
','
<<i+j-1<<
") "
;
ShowSolution2(s, i+1, j-1);
}
else
if
(s[i][j]==j-1)
{
//退化情况2:s[i][j]==j-2剖分成 多边形i,...,i+j-2 和 三角形 i,i+j-2,i+j-1
cout<<
'('
<<i<<
','
<<i+j-1<<
") "
;
ShowSolution2(s, i, j-1);
}
else
{
//一般情况 :k = s[i][j] 剖分成 多边形i,...,i+k 和 多边形 i+k,...,i+j-1
ShowSolution2(s, i, k+1);
cout<<
'('
<<i<<
','
<<i+k<<
") "
;
ShowSolution2(s, i+k, j-k);
cout<<
'('
<<i+k<<
','
<<i+j-1<<
") "
;
}
}