凸多边形最优三角剖分

^{多边形的三角剖分}

三角剖分

多边形的三角剖分是将多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合 T。下图为一个凸 7 边形的两个不同的三角剖分。

在凸多边形 P 的一个三角剖分 T 中，各弦互不相交，且集合T 已达到最大，即 P 的任一不在 T 中的弦必与 T 中某一弦相交。在有 n 个顶点的凸多边形中，恰有 (n-3) 条弦和 (n-2) 个三角形。

最优三角剖分

给定凸多边形，以及定义在由凸多边形的边和弦组成的三角形上的权函数 w ，要求确定该凸多边形的三角剖分，使得该三角剖分所应对的权，即三角剖分中诸三角形上权之和为最小。

最优子结构性质

凸多边形的最优三角剖分问题有最优子结构性质。事实上，若凸 (n+1) 边形，的最优三角剖分 T 包含三角形，则 T 的权为三角形的权，子多边形和的权之和。可以断言，由 T 确定的这两个子多边形的三角剖分也是最优的。因为若有和的更小权的三角剖分，将导致 T 不是最优三角剖分矛盾。

最优三角剖分的递归结构

令为凸子多边形的最优三角剖分对应的权函数值，即其最优值。

实现

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std; 
const int N=7;
int s[N][N],t[N][N],weight[][N]={{0,2,2,3,1,4},{2,0,1,5,2,3},{2,1,0,2,1,4},{3,5,2,0,6,2},{1,2,1,6,0,1},{4,3,4,2,1,0}};
int dp(int n);
void Traceback(int i,int j);
int Weight(int a,int b,int c);
int main()
{
    cout<<"此多边形的最优三角剖分值为："<<dp(N-1)<<endl;  
    cout<<"最优三角剖分结构为："<<endl;  
    Traceback(1,N-2); 
    system("pause");
    return 0;
}
int dp(int n)
{
    int i,r,j,k,u;
    for(i=1;i<=n;i++)   t[i][i] = 0;
    
    for(r=2;r<=n;r++) 
    {
      for(i=1;i<=n-r+1;i++) 
      {
        j=i+r-1; 
        t[i][j]=t[i+1][j]+Weight(i-1,i,j);
        s[i][j]=i;
        for(k=i+1;k<j;k++)
        {
          u =t[i][k]+t[k+1][j]+Weight(i-1,k,j);
          if(u<t[i][j])
          {
            t[i][j]=u;
            s[i][j]=k;
          }
        }
      }
    }
    return t[1][N-2];
}
void Traceback(int i,int j)
{
    if(i==j) return;
    Traceback(i,s[i][j]);
    Traceback(s[i][j]+1,j);
    cout<<"三角剖分顶点：V"<<i-1<<",V"<<j<<",V"<<s[i][j]<<endl;
}

int Weight(int a,int b,int c)
{return weight[a][b]+weight[b][c]+weight[a][c];}