动态规划--凸多边形最优三角剖分

（1）问题描述

就是把一个n边凸多边形划分成全都化成三角形(n-2)，然后算所有三角形的周长加起来总的最小的(公共弦得重复计算)。

（2）基本思路

最小的大凸多边形等于 “左子多边形的最小” + “右子多边形的最小” + “中间的三角形”；以此递归下去。

（3）代码实现

public class fuck {

	  private int n;    // n凸多边形的边长
	  private int[][] weight;     

	  public fuck(int n) {
	    this.n = n;
	    this.weight = new int[n][n];
	  }

	  public static void main(String[] args) {
		  fuck triangulation = new fuck(6);
	    initTriangulation(triangulation);
	    int n = triangulation.getN();// 凸多边形的边数
	    int[][] t = new int[n][n];// t[i][j]表示从点i到点j的范围内划分成的三角形的周长之和最小的
	    int[][] s = new int[n][n];// s[i][j]t[i][j]的时候断开的是哪个点
	    triangulation.minWeightTriangulation(triangulation.getN() - 1, t, s);
	    System.out.println("将凸多边形划分成周长最小的各个三角形的和为："+t[1][5]);
	    
	//-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------    
	    System.out.println(" ");
	    
	    System.out.println("数组t");
	    for(int i=1;i<t.length;i++) {
	    	for(int j=0;j<t.length;j++) {
	    		System.out.print(t[i][j]+" ");
	    	}
	    	System.out.println(" ");
	    }
	    
	    System.out.println(" ");
	    
	    System.out.println("数组w");
	    int[][] weight = { { 0, 2, 2, 3, 1, 4 }, { 2, 0, 1, 5, 2, 3 }, { 2, 1, 0, 2, 1, 4 }, 
		        { 3, 5, 2, 0, 6, 2 }, { 1, 2, 1, 6, 0, 1 }, { 4, 3, 4, 2, 1, 0 } };
	    for(int i=0;i<t.length;i++) {
	    	for(int j=0;j<t.length;j++) {
	    		System.out.print(weight[i][j]+" ");
	    	}
	    	System.out.println(" ");
	    }
	    
	    System.out.println(" ");
	    
	    System.out.println("数组s");
	    for(int i=1;i<t.length;i++) {
	    	for(int j=0;j<t.length;j++) {
	    		System.out.print(s[i][j]+" ");
	    	}
	    	System.out.println(" ");
	    }
	//-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------    
	    
	  }

	  // 初始化weight数组的信息（即各点到各点的距离）
	  public static void initTriangulation(fuck triangulation) {
	    int[][] weight = { { 0, 2, 2, 3, 1, 4 }, { 2, 0, 1, 5, 2, 3 }, { 2, 1, 0, 2, 1, 4 }, 
	        { 3, 5, 2, 0, 6, 2 }, { 1, 2, 1, 6, 0, 1 }, { 4, 3, 4, 2, 1, 0 } };
	    triangulation.setWeight(weight);
	  }

	  public void minWeightTriangulation(int n, int[][] t, int[][] s) {
	    // 将点到点自己的部分都初始化为0
	    for (int i = 1; i <= n; i++) {
	      t[i][i] = 0;
	    }
	    // 循环求解t[i][j]
	    for (int r = 2; r <= n; r++) {
	      // 当r=2时，循环实际上是在给t赋边的值，即相邻的两个顶点的距离，例如t[1][2],t[2][3]...
	      for (int i = 1; i <= n - r + 1; i++) {
	        int j = i + r - 1;
	        t[i][j] = t[i][i]+t[i + 1][j] + getWeight(i - 1, i, j);	       
	        s[i][j] = i;
	        // 循环k，求出是否断开别的地方的时候有更小的t[i][j]
	        for (int k = i + 1; k < j; k++) {
	          int u = t[i][k] + t[k + 1][j] + getWeight(i - 1, k, j);// 
	          if (u < t[i][j]) {     // 如果有更小的，那么同时更新t[i][j]和s[i][j]
	            t[i][j] = u;
	            s[i][j] = k;
	          }
	        }
	      }
	    }
	  }
	// 计算一个三角形的周长
	  public int getWeight(int i, int j, int k) {
	    return weight[i][j] + weight[j][k] + weight[i][k];
	  }

	  public int getN() {
	    return n;
	  }

	  public void setN(int n) {
	    this.n = n;
	  }

	  public int[][] getWeight() {
	    return weight;
	  }

	  public void setWeight(int[][] weight) {
	    this.weight = weight;
	  }

}

（4）时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度：
O(n3)

空间复杂度：
O(n2)

其实只是用记录下数组t，所以空间复杂度是O(n2)，关于时间复杂度和矩阵连乘同个道理。