bnuoj-53073 萌萌哒身高差【数学】【非原创】

“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂。”

然而wfy同学的心情是愉快的，因为BNU ACM队出去春游啦！并且，嗯。。。

以下是wfy同学的日记：

昨天，何老师告诉我们：明天我们去春游，大家准备好喝的和吃的哦！

大家听了都兴奋起来，有的欢呼，有的鼓掌，开心得不得了。第二天，我们早早地来到学校，迫不及待地上了车，来到了公园。一进门，啊，太美了！公园中有那么多树，有高有矮，有粗有瘦，密密的，在春风吹拂下轻轻摇摆着，像是欢迎我们的到来。公园中有那么多的鲜花，有红有黄，有紫有白，散发着淡淡的清香，闻得我们都醉了。公园的边角上有一条清澈的小河，河水缓缓地流淌着，可以看到水里的鱼儿在快活地游来游去，多自在啊！水草碧绿碧绿的，多新鲜啊！小河的旁边是一片小树林，远远望去一片鲜绿。我们在里面吃东西、做游戏、捉迷藏，玩得疯极了。树林的后面是连绵起伏的小山坡，蜿蜿的真像一条游动的蛇。当然，我觉得公园的天空也很美。它万里无云，一碧如洗，很清澈。小鸟在展翅飞翔，它们形态各异，一会儿上升，一会儿下滑，一会儿吃虫，一会儿在小树林里休息，非常悠闲。快乐时光总是那么短暂，很快，天色就昏暗了。我们依依不舍地上了车，回到了学校，我真希望明年的春天还能再来看看这美丽的公园。
回到学校后，何老师说：请大家排成一排，我们来拍照片啦！

何老师特别喜欢萌的东西，比如**，比如****，等等。

何老师认为，同学们站成一排时，相邻两个同学身高相差越多，这两个同学站在一起越萌。

那么所有相邻两个同学的身高差加起来越大，拍出来的照片就越萌，也就是这张照片的萌力指数。

何老师希望拍出来的照片的萌力指数尽可能大。

然而何老师并不是数学老师，而是语文老师。何老师觉得很GG。

何老师只想知道，如果让同学们随便站成一排(站成所有排列的可能性都相等)，萌力指数的数学期望是多少。

聪明的我一下子就算出了答案，然后何老师就奖励了我一个很萌的礼物。

今天真的好开心。

BNU ACM队共有名同学，身高分别是 $1, 2, \dots , n$ ，聪明的你能计算出何老师想要的数学期望吗？

Input

第一个是一个正整数 $T(T \leq 20)$ ，表示测试数据的组数，

每组测试数据只有一行，包含一个整数 $n(2 \leq n \leq 100)$ 。

Output

对于每组测试数据，输出一行，包含一个实数，表示萌力指数的数学期望值，要求相对误差不超过 $10^{-9}$ ，

也就是说，令输出结果为，标准答案为，若满足 $\frac{ \left | a-b \right | }{max(1,b)} \leq 10^{-9}$ ，则输出结果会被认为是正确答案。

Sample Input

2
2
3

Sample Output

1.000000000000
2.666666666667

Hint

对于第二组样例，所有可能的排列是[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]，所以答案是 $\frac{2+3+3+3+3+2}{6}=\frac{8}{3}$

思路；

（1）多写几个样例，找规律。2的时候3/3；3的时候8/3；4的时候15/3；5的时候24/3；6的时候35/3，可以发现n的时候就是((n*n)-1)/3即n方减一

 1 #include <iostream>
 2 #include <iomanip>2
 3 using namespace std;
 4 int main()
 5 {
 6     int t;
 7     cin>>t;
 8     while(t--)
 9     {
10         int n;
11         cin>>n;
12         cout<<fixed<<setprecision(12)<<((n*n)-1.0)/3.0<<endl;
13     }
14     return 0;
15 }

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（2）另一种思考方式，由于是全排列，对于n个数，总共有n*(n-1)/2种形式的差，且每种差出现次数相同，两重for循环即可求出所有形式的差出现一次的和sum，那么求出每种差出现的次数就可以求出差的总和。由于每一种顺序有n-1种差，有n！种序列，所以每次出现的次数为：n!*(n-1)/(n*(n-1)/2)=2*(n-1)!所以和即为：(sum*2*(n-1)!)/n! = sum*2/n即为答案。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 typedef long long ll;
 5 
 6 const int N=1000010;
 7 const int mod=1e9+7;
 8 const int Max=0x3f3f3f3f;
 9 
10 ll ans[N];
11 char ch[N];
12 
13 int main()
14 {
15     int T;
16     cin>>T;
17     while(T--)
18     {
19         int i,j;
20         ll sum=0;
21         int n;
22         cin>>n;
23         for(i=n;i>=1;i--)
24         {
25             for(j=1;j<=n;j++)
26             {
27                 if(i>j)
28                 sum+=(i-j);
29             }
30         }
31         double ans=(2.0*sum)/n;
32         cout<<fixed<<setprecision(12)<<ans<<endl;
33     }
34     return 0;
35 }

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参考博客：戳这里