【BZOJ4569】【SCOI2016】萌萌哒

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【思路要点】

• 很强的脑洞题。
• 显然有一个$O(NM)$的暴力，每次暴力用并查集合并区间的对应位置。
• 考虑加速这个过程，我们新建$O(LogN)$层点，第$i$层的两个点$p_{i,x}$和$p_{i,y}$被用并查集合并，表示$x$起的$2^i$个元素和$y$起的$2^i$个元素对应相同（注意即使第$i$层的两个点$p_{i,x}$和$p_{i,y}$没有被用并查集合并，$x$起的$2^i$个元素和$y$起的$2^i$个元素也有可能对应相同）。
• 对于一个限制条件$(x,y,2^i)$（一个长度非$2^i$次的限制条件，我们可以将其拆分为两个长度为$2^i$的限制条件），我们尝试合并$p_{i,x}$和$p_{i,y}$。
• 当第$i$层的两个点$p_{i,x}$和$p_{i,y}$被尝试合并，若它们已经在同一集合，那么我们称本次合并失败，并忽视本次合并；否则，我们用并查集将它们从不在同一集合合并至在同一集合，并且我们同样尝试合并$p_{i-1,x},p_{i-1,y}$和$p_{i-1,x+2^{i-1}},p_{i-1,y+2^{i-1}}$。
• 这样做的复杂度很显然是$O(NLogN)$的，考虑其正确性：我们虽然没有办法保证第$i(i>0)$层的信息是真实的，但作用在第0层的并查集合并操作和我们暴力合并的效果是完全等价的。
• 简单统计一下答案即可，注意前导零以及一位数的问题。
• 时间复杂度$O(NLogN+M)$。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int MAXN = 100005;
const int MAXLOG = 30;
const int P = 1e9 + 7;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
  x = 0; int f = 1;
  char c = getchar();
  for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
  for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
  x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
  if (x < 0) x = -x, putchar('-');
  if (x > 9) write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
  write(x);
  puts("");
}
int n, m, f[MAXLOG][MAXN], Log[MAXN];
bool vis[MAXN];
int F(int p, int x) {
  if (f[p][x] == x) return x;
  else return f[p][x] = F(p, f[p][x]);
}
void merge(int p, int x, int y) {
  if (F(p, x) == F(p, y)) return;
  f[p][F(p, x)] = F(p, y);
  if (p == 0) return;
  else {
      int tmp = 1 << (p - 1);
      merge(p - 1, x, y);
      merge(p - 1, x + tmp, y + tmp);
  }
}
int main() {
  read(n), read(m);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
      Log[i] = Log[i - 1];
      if (i >= 1 << (Log[i] + 1)) Log[i]++;
  }
  int goal = Log[n];
  for (int p = 0; p <= goal; p++)
  for (int i = 1; i <= n; i++)
      f[p][i] = i;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
      int l1, r1, l2, r2;
      read(l1), read(r1), read(l2), read(r2);
      int len = r1 - l1 + 1, tmp = Log[len];
      merge(tmp, l1, l2);
      merge(tmp, r1 - (1 << tmp) + 1, r2 - (1 << tmp) + 1);
  }
  if (n == 1) {
      printf("%d\n", 10);
      return 0;
  }
  int ans = 9;
  vis[F(0, 1)] = true;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
      if (!vis[F(0, i)]) {
          ans = ans * 10ll % P;
          vis[F(0, i)] = true;
      }
  writeln(ans);
  return 0;
}