数据结构与算法分析-引论

数学知识复习

指数

$X^AX^B=X^{A+B}$

$\frac{X^A}{X^B}=X^{A-B}$

$(X^A)^B=X^{AB}$

$X^N+X^N=2X^N\neq X^{2N}$

对数

在计算机科学中，除非有特别的声明，所有的对数都是以2为底的。

定义： $X^A=B$，当且仅当 $log_XB=A$

定理1.1

$log_AB=\frac{log_CB}{log_CA}$

定理1.2

$logAB=logA+logB$

$log\frac{A}{B}=logA-logB$

$log(A^B)=BlogA$

$logX<X（对于所有X>0成立）$

$log1=0,log2=1,log1024=10,log1048576=20$

级数

最容易记忆的公式是

$\sum^N_{i=0}2^i=2^{N+1}-1$

和

$\sum_{i=0}^NA^i=\frac{A^{N+1}-1}{A-1}$

在第二个公式中，如果 $0<A<1$，则

$\sum_{i=0}^NA^i\leq \frac{1}{1-A}$

当N趋向 $\infty$时该和趋向于 $\frac{1}{1-A}$，这些公式是“几何级数”公式。

分析中另一种常用类型的级数是算术级数。任何这样的级数都可以通过基本公式计算其值。

$\sum_{i=1}^Ni=\frac{N(N+1)}{2}\approx\frac{N^2}{2}$

例如，为求出和 $2+5+8+\cdots +(3k-1)$，将其改写为 $3(1+2+3+\cdots+k)-(1+1+1+\cdots +1)$，显然，它就是 $\frac{3k(k+1)}{2-k}$。另一种记忆的方法则是将第一项与最后一项相加（和为 $3k+1$），第二项与倒数第二项相加（和也是 $3k+1$），等等。由于有 $\frac{k}{2}$个这样的数对，因此总和就是 $\frac{k(3k+1)}{2}$，这与前面的答案相同。

现在介绍下面两个公式，它们就没有那么常见了。

$\sum_{i=1}^Ni^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\approx\frac{N^3}{3}$

$\sum_{i=1}^Ni^k\approx\frac{N^{k+1}}{|k+1|}k\neq-1$

当 $k\neq-1$时，后一个的公式不成立。此时我们需要下面的公式，这个公式在计算机科学中的使用要远比在数学其他科目中使用得多。数 $H_N$叫做调和数，其和叫做调和和。下面近似式中的误差趋向于 $\gamma\approx0.57721566$，这个值被称为欧拉常数（Euler’s constant）。

$H_N=\sum_{i=1}^N\frac{1}{i}\approx log_eN$

以下两个公式只不过是一般的代数运算。

$\sum_{i=1}^Nf(N)=Nf(N)$

$\sum_{i=n_0}^Nf(i)=\sum_{i=1}^Nf(i)-\sum_{i=1}^{n_0-1}f(i)$

模运算

如果 $N$整除 $A-B$，那么我们就说A与B模N同余（congruent），记为 $A\equiv B(mod\space N)$。

如同等号的情形一样，若 $A\equiv B(mod\space N)$，则 $A+C\equiv B+C(mod\space N)$以及 $AD\equiv BD(mod\space N)$

证明方法

归纳法证明

由归纳法进行证明有两个标准的部分。第一步是证明基准情形（base case），就是确定定理对于某个（某些）小的值的正确性。接着，进行归纳假设（inductive hypothesis）。一般来说，这意味着假设定理对直到某个有限数 $k$的所有的情况都是成立的。至此定理得证（在 $k$是有限的情形下）。

通过反例证明

公式 $F_k\leq k^2$不成立。证明这个结论的最容易的方法就是计算 $F_{11}=144>11^2$。

反证法证明

反证法证明是通过假设定理不成立，然后证明假设导致某个已知的性质不成立，从而说明原假设是错误的。

递归简论

过程（procedure）即为返回值为void型的函数。

$\left \lfloor X \right \rfloor$意为小于或等于X的最大整数。

当编写递归例程的时候，关键是要牢记递归的四条基本法则：

1. 基准情形。必须总有某些基准情形，它无须递归就能解出。
2. 不断推进。对于那些需要递归求解的情形，每一次递归调用都必须使求解状况朝接近基准情形的方向推进。
3. 设计法则。假设所有的递归调用都能运行。
4. 合成效益法则（compound interest rule）。再求解一个问题的同一个实例时，切勿在不同的递归调用中做重复性的工作。