小白学习动态规划：0-1背包（经典例题）

前言

背包问题只是动态规划问题下的一个分类，求解0-1背包问题的思路本质上与求解动态规划的一般思路是一致的，我们经常遇到新的题目做不出来，并不是因为没有掌握动态规划的思想，而有可能是因为没有遇到这类具有显著特征的题目，无法将一般动态规划的解题思路应用在实战中。

动态规划的原理：

① 最优子结构性质：问题的最优解可以转化为求子问题的最优解，也就是说问题的最优解可以从子问题的最优解中得出。

② 子问题重叠性质：问题的解由子问题的解组成，所以先构造子问题的解，才能求出最终问题的解。而求问题的解时，由于已经记录子问题的解，所以不必重新求子问题的解，只需取出来使用即可。

经典例题

$有N件物品和一个容量为V 的背包。放入第i件物品耗费的空间是Ci，得到 的价值是Wi。 \\求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。$

$例：N = 5，V=10$

物品	A	B	C	D	E
Wealth	3	4	5	6	7
Cost	1	2	5	6	8

这是最基础的0-1背包问题

先看下图，是在求出问题的解后整个动态规划表呈现的结果。下面就来看看这张表是如何一步步填上去并求出最终问题解的。

解题思路

① 确定子问题

求容量为V的背包装入物品的价值总和最大，则考虑第i件物品是否放入背包，使得背包的价值保持最大。

② 确定状态及数组

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用一个二维数组F[i][j]表示前i件物品放入容量为j的背包中可以获得的最大价值（注意此处的容量是背包的总容量，而不是背包的剩余容量）

③ 确定边界值

F[0][0…V] = 0：表示不管第0件物品放入任意容量的背包中其最大价值都是0，因为不存在第0件物品。

F[0…N][0] = 0：表示任意物品放入容量为0的背包中其最大价值都是0，因为容量为0的背包装不下任何物品。

④ 确定状态转移方程

Ⅰ：若第i件物品无法放入容量为j的背包中
$\\则前i件物品放入容量为j的背包中的最大价值等于前i-1件物品放入容量为j的背包中的最大价值，\\即：F[i][j] = F[i-1][j]$
Ⅱ：若第i件物品可以放入容量为j的背包中，则分两种情况：
$第i件物品放入容量为j的背包中，得到前i件物品的最大价值：F_1[i][j] = F[i-1][j-C_i] + W_i \\第i件物品不放入容量为j的背包中，得到前i件物品的最大价值：F_2[i][j] = F[i-1][j] \\取F_1还是F_2取决于谁的价值更大，即：F[i][j] = max(F_1[i][j],\ F_2[i][j])$

例：

第Ⅰ种情况：

当[i，j] = [2，1]时，物品B的耗费空间Cost=2，而背包的体积 j=1，很明显物品B无法放入背包中，所以
$F[2][1] = F[1][1] = 3$
第Ⅱ种情况：

当[i，j] = [2，3]时，物品B的耗费空间Cost = 2，而背包的体积 j=3，物品B可以放入背包中，所以
$F[2][3] = max(F[1][3], F[1][3-2] + 4)=max(3,3+4)=max(3,7)=7$

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作者在理解Ⅱ时有一个困惑：为什么第i件物品可以放入容量为j的背包中还需要比较不放入的情况？

$当[i，j] = [5，9]时，物品E需要占用Cost=8，而背包容量j=9 > Cost,所以背包可以放入E这件物品\\ 如果放入E，那么就要腾出E的空间，所以F_1[5][9] = F[5-1][9-Cost_E] + Wealth_E = 10\\ 如果不放入E，那么不需要腾出E的空间，所以F_E[5][9] = F[4][9]=13，可以看到不放入E反而让背包的总价值更大\\$
所以并不是说物品E可以放入就马上放入，因为每放入一件物品都要腾出相应的空间
$V_{腾出的空间} = Cost_i$
而腾出的空间可以放入其它物品，而有可能放入其它的物品价值总和大于物品E的价值。

⑤ 代码实现

public class Solution{
    public int dp(int[] wealth, int[] cost, int V, int N){
        //特殊状态处理
        if(wealth.length != cost.length){return -1;}
        if(wealth.length == 0){return 0;}
        if(wealth.length == 1){
            if(cost[0] > V){
                return 0;
            }else{
                return wealth[0];
            }
        }
        int[][] F = new int[N + 1][V+1];
        //边界值处理
        for(int i = 1; i < N + 1; i++){
            for(int j = 1; j < V + 1; j++){
                //先假设不能放入容量为j的背包
                F[i][j] = F[i-1][j];
                //判断能不能放入背包
                if(j >= cost[i-1]){
                    F[i][j] = Math.max(F[i-1][j], F[i-1][j-cost[i-1]] + wealth[i-1]);
                }
            }
        }
        return F[N][V];
    }
}

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