CodeForces 451E Devu and Flowers 题解

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题目大意： 现在有 $n$ 种花，第 $i$ 种花有 $f_i$ 个，现在要选出 $s$ 朵花，问多有少种不同的选法。

题解

这是一个裸的多重集组合数问题。

知道了计算公式之后，就很好做了。

因为 $n$ 十分小，我们可以直接大力枚举有哪些花是拿多了的，不妨枚举一个 $i$，枚举范围是 $[0,2^n-1]$，我们看 $i$ 的二进制数，假如 $i$ 的第 $j$ 位为 $1$，那么就是第 $j$ 种花拿多了。

假设此时枚举出来有 $p_1,p_2,\cdots,p_k$ 这些种类的花拿多了，那么产生的贡献就是：
$(-1)^k C_{n+s-1-\sum_{i=1}^k (f_{p_i}+1)}^{n-1}$

因为下面的部分可能很大，所以需要用卢卡斯定理来算。

而且因为 $n-1$ 和 $n+s-1-\sum_{i=1}^k (f_{p_i}+1)$ 相比太小了，所以代码中采用了这样的组合数计算方式：
$C_x^y=\frac {x!}{y!(x-y)!}=\frac {(x-y+1)\times(x-y+2)\times...\times x} {y!}$

注意，除以 $y!$ 需要用逆元。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
#define mod 1000000007

int n;
ll s,f[110],ans=0;
ll ksm(ll x,ll y)
{
	ll re=1,tot=x;
	while(y)
	{
		if(y&1)re=re*tot%mod;
		tot=tot*tot%mod;
		y>>=1;
	}
	return re;
}
#define inv(x) ksm(x,mod-2)
ll C(ll x,ll y)
{
	if(y>x)return 0;
	if(y>x-y)y=x-y;
	ll sum1=1,sum2=1;
	for(int i=x-y+1;i<=x;i++)
	sum1=sum1*i%mod;
	for(int i=2;i<=y;i++)
	sum2=sum2*i%mod;
	return sum1*inv(sum2)%mod;
}
ll lucas(ll x,ll y)
{
	if(y==0)return 1;
	return C(x%mod,y%mod)*lucas(x/mod,y/mod)%mod;
}

int main()
{
	scanf("%d %lld",&n,&s);
	for(int i=0;i<n;i++)
	scanf("%lld",&f[i]);
	for(int i=0;i<(1<<n);i++)
	{
		int f1=1;
		ll sum=n+s-1;
		for(int j=0;j<n;j++)
		{
			if((i&(1<<j))>0)
			{
				f1*=-1;
				sum-=f[j]+1;
			}
		}
		if(sum>=0)ans=(ans+f1*lucas(sum,n-1)+mod)%mod;
	}
	printf("%lld",ans);
}