#数论，组合，容斥原理，lucas定理，乘法逆元#洛谷 CF451E Devu and Flowers

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题目

$n$种颜色，每种颜色有$a_i$枝花，现挑出$m$朵，使没有颜色完全相同的方案

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分析

可以发现，这道题是求多重集的组合数，根据容斥原理也就是

$$C_{k+r-1}^{k-1}-\sum_{i=1}^kC_{k+r-n_i-2}^{k-1}+\sum_{1\leq i<j\leq k}C^{k-1}_{k+r-n_i-n_j-3}-\cdots+(-1)^kC_{k+r-\sum_{i=1}^kn_i-(k+1)}$$
关于优化的方面，因为选择的数量特别大，所以说需要用二进制优化，还是比较简单去想的，对于判断越界可以用lucas定理 @my blog古代猪文，关于组合数的求法可以用乘法逆元

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代码

#include <cstdio>
#define rr register
#define mod 1000000007
long long m,a[20],ans; int n,inv[20];
inline int ksm(int x,int y){//快速幂
    int ans=1;
    while (y){
        if (y&1) ans=(long long)ans*x%mod;
        x=(long long)x*x%mod; y>>=1;
    }
    return ans;
}
inline int c(long long n,int m){
    if (n<0||m<0||n<m) return 0;//不可能存在答案
    if (!n||!m) return 1;//特判
    int ans=1;
    for (rr int i=0;i<m;++i)
        ans=(long long)ans*(n-i)%mod*inv[i]%mod;//求组合数
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d%lld",&n,&m);
    for (rr int i=0;i<n;++i) scanf("%lld",&a[i]),inv[i]=ksm(i+1,mod-2);//乘法逆元
    for (rr int x=0;x<1<<n;++x){
        if (!x) ans=(ans+c((n+m-1)%mod,n-1))%mod;//不考虑重复的状况
        else{
            long long t=n+m; int p=0;
            for (rr int i=0;i<n;++i)
            if (x>>i&1) p++,t-=a[i];//记录1的个数
            t-=p+1;
            if (p&1) ans=(ans-c(t%mod,n-1))%mod;//求答案
            else ans=(ans+c(t%mod,n-1))%mod;//可能要加回去（容斥定理）
        }
    }
    printf("%lld",(ans+mod)%mod);//算下来可能会出现负数
    return 0;
}