【数论】Min_25筛

听说这玩意玩爆洲阁筛？？？
按照惯例，放上fj_zzq的blog

Min_25筛可以解决一类积性函数求和问题，

筛质数

假设我们现在要对n以内的质数求和，

先线筛出小于$\sqrt n$的所有质数，设第i个为$p_i$，共有$p_0$个质数，$ps$为p的前缀和，
设函数：$S(x,j)=\sum_{i=2}^x i*[i为质数\ 或\ i的最小质因子大于p_j]$

设$Sum(n)=(n+1)*n/2$
显然，对于任意的x，$S(x,0)=Sum(x)-1$，我们要求的Ans就是$S(n,p_0)$

考虑转移：如果$p_j^2>x$，$S(x,j)=S(x,j-1)$
否则：

$$S(x,j)=S(x,j-1)-p_j*(S(\lfloor \frac{x}{p_j} \rfloor,j-1)-ps_{j-1})$$

就这样一直递推下去即可得出$S(n,p_0)$

不难发现这样还可以筛各种奇奇怪怪的东西，但还是不能筛任意的积性函数

积性函数求和

通过上面的方法可以求出大部分积性函数$f(x)$，当x为质数时的和，现在要求的是：

$$\sum_{i=1}^nf(i)$$
考虑把上面的式子倒过来推，定义跟前面的一样：（可以用上面的S来预处理 $G(x,p_0)$）
设 $fs_x=\sum_{i=1}^xf(p_i)$
$$G(x,j)=G(x,j+1)+\sum_{k=1}(G(\lfloor\frac{x}{p_j^k}\rfloor,j+1)-fs_j)*f(p_j^k)+\sum_{k=2}f(p_j^k)$$
这样 $Ans=G(n,0)$

复杂度为：$O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log(\sqrt n)})$

可以发现对于第一个S，不用真的每次递归就直接这样递归下去，显然可以用一个for循环代替一个递归（见代码），
还可以不用递归的方式，常数还OK，
对于G也同理，

刚学一定要去做这几道题，学习正确筛法姿势，（点击传送至题解）
【LibreOJ #6053】简单的函数 //版子
【JZOJ 5683】【GDSOI2018模拟4.22】Prime //数据结构优化
【51NOD 1847】奇怪的数学题 //基本姿势
【51NOD 1965】奇怪的式子 //练手

Code

附上筛质数的代码
递归版：

LL Gg(LL n,int m)
{
    if(n<N&&n<(LL)pr[m+1]*pr[m+1])return prs[n];
    if(!m)return Sum(n);
    for(;n<(LL)pr[m]*pr[m];--m);
    LL ans=0;
    for(;m;--m)ans=(ans-(Gg(n/pr[m],m-1)-prs[m-1])*pr[m])%mo;
    return (ans+Sum(n))%mo;
}

非递归版：

void GS(LL n)
{
    d[0]=0;
    for(LL i=1,nx;i<=n;i=nx+1)
    {
        nx=n/(n/i);
        LL t=n/i;
        d[++d[0]]=t;
        f[d[0]]=SUM(t,mo1)-1;
        if(t<=M)id[t]=d[0];
        else id1[n/t]=d[0];
    }
    fo(j,1,pr[0])
    {
        LL li=(LL)pr[j]*pr[j];
        for(int i=1;d[i]>=li;++i)
        {
            LL t1=d[i]/pr[j];
            int t=(t1>M)?id1[n/t1]:id[t1];
            f[i]=(f[i]-(f[t]-prs[j-1])*(LL)pr[j])%mo1;
        }
    }
}