[loj6053]简单的函数【min_25筛】

【题目链接】
　　https://loj.ac/problem/6053
【题解】
　　min_25筛的模板题。
　　min_25筛可以解决以下一类积性函数的求和问题。
　　1.$f(x)(x \in P)$可以通过多项式表达出来。
　　2.$f(x^k)(x \in P)$可以快速算出。
　　这道题中，$f(x) = x$^$1 = x - 1(x \in P 且x \neq 2)$所以条件1满足，条件2显然也是满足的。
　　part1
　　我们先来考虑一个问题，如何求$F(T)=\sum_{i=1}^{T}f(i)(i\in P,T\in \left\lfloor N/i\right\rfloor )$，T是N通过除法能得到的数，大约有$2 \sqrt{N}$种取值。
　　不难发现，$\sum_{i=1}^{N}f(i)(i\in P) = \sum_{i=1}^{N}i-1(i\in P) + 2$ 因为只有2异或了后会加1。
　　 那么我们要求的就是质数的和以及质数的个数。
　　 首先筛出$1..\sqrt{N}$中的所有质数，记作$p[1]..p[M]$。
　　 记函数$G_{k}(n, m)$表示$\sum_{i = 1}^{n}i^k(i \in P或i的最小质因子>p[m])$。
　　 那么相当于求出$G_{0}(T,M),G_{1}(T,M)$
　　 考虑从$G_{k}(n,m-1)$推到$G_{k}(n,m)$，就是从中去除最小质因子是$p[m]$的，于是可以推出：
　　 $G_{k}(n,m)=G_{k}(n,m-1)-p[m]^k*(G_{k}(\left\lfloor n/p[m]\right\rfloor,m-1)-G_{k}(p[m]-1,m-1))$
　　 相当于强制选出一个$p[m]$，剩下的随便选，但要重新加上有比$p[m]$更小的质因子的方案。
　　 边界条件是$G_{k}(n,0)=\sum_{i=1}^{n}i^k$,可以$O(1)$计算。
　　 由于我们只要求$2\sqrt{N}$个取值，可以将它们一起考虑。
　　 具体来说，我们从前往后枚举每一个质数$p[1]..p[m]$由于大的的取值不会影响小的，所以从后往前更新。
　　 现在的复杂度是$\sqrt{N}*(sqrt{N}/ln{\sqrt{N}})=O(N/ln{\sqrt{N}})$
　　 考虑优化，当$p[m]^2>n$时，$G_{k}(n,m)=G_{k}(n,m-1)$，因为不可能存在一个有$p[m]$的因子但不是质数的数，所以每次有一段前缀不用算。
　　 现在的复杂度是$\sum_{T}\sum_{i=1}^{m}[p[i]^2 \leq T]\approx O(N^{3/4}/ln{N})$？，我不会证，但肯定比$O(N^{3/4})$小。
　　 Part2
　　 处理出了$F$接下来就简单了。
　　 记$S(n,m)$为$\sum_{i=1}^{n}f(i)[i的最小质因子\geq p[m]]$，我们要求的是$S(N,1)+f(1)$。
　　 由于我们已经知道了$F$(质数的答案和)。现在要加入非质数的答案。还是考虑枚举质数：
　　 $S(n,m)=F(n)-F(p[m]-1)+\sum_{i=m}^{M}\sum_{j=1}^{p[i]^{j+1}\leq N}(f(p[i]^j)*S(n/p[i]^j,m+1)+f(p[i]^{j+1}))$
　　 由于$p[M]\leq \sqrt{N}$所以它的$F$值也是已知的。
　　 边界条件是$n<p[m]$时，值为0。
　　 这个相当于是把上一部分的递归实现，所以复杂度与Part1相同。
　　 总时间复杂度：$O(N^{3/4}/ln{N})$一般能做到$1e10$
【代码】(为了便于调试很多地方写的比较烦)

    /* - - - - - - - - - - - - - - -
    User :      VanishD
    problem :   loj-6053
    Points :    Min_25 
- - - - - - - - - - - - - - - */
# include <bits/stdc++.h>
# define    ll      long long
# define    inf     0x3f3f3f3f
# define    P       1000000007
# define    N       1001000
using namespace std;
ll use[N], p[N], pre[N], bak[N], pre0[N], pre1[N], bak0[N], bak1[N];
ll sum, nt, cnt;
int pnum;
const ll inv2 = 5e8 + 4; 
void get_p(int n){
    use[1] = true; 
    for (int i = 2; i <= n; i++){
        if (!use[i]) p[++pnum] = i;
        for (ll j = 1; j <= pnum && 1ll * i * p[j] <= n; j++){
            use[i * p[j]] = true;
            if (i % p[j] == 0) break;
        }
    }
}
ll F(ll p, int k){
    if (k == 0) return 1;
    return p ^ k;
}
void get_Pow0(){
    for (int i = 1; i <= nt; i++)
        pre0[i] = i, bak0[i] = sum / i;
    for (int i = 1, prep = 1, bakp = nt; i <= pnum; i++){
        while (prep <= nt && p[i] * p[i] > prep) prep++;
        while (bakp >= 1  && p[i] * p[i] > sum / bakp) bakp--;
        for (int j = 1; j <= bakp; j++){
            ll x = sum / j;
            ll  tmp1 = (x <= nt) ? pre0[x] : bak0[sum / x],
                tmp2 = (x / p[i] <= nt) ? pre0[x / p[i]] : bak0[sum / (x / p[i])],
                tmp3 = pre0[p[i] - 1];
            bak0[j] = (tmp1 - 1 * (tmp2 - tmp3) + P) % P;
        }           
        for (int j = nt; j >= prep; j--){
            ll x = j;
            ll  tmp1 = (x <= nt) ? pre0[x] : bak0[sum / x],
                tmp2 = (x / p[i] <= nt) ? pre0[x / p[i]] : bak0[sum / (x / p[i])],
                tmp3 = pre0[p[i] - 1];
            pre0[j] = (tmp1 - 1 * (tmp2 - tmp3) + P) % P;
        }           
    }
}
void get_Pow1(){
    for (int i = 1; i <= nt; i++){
        pre1[i] = 1ll * i * (i + 1) % P * inv2 % P;
        ll tmp = (sum / i) % P;
        bak1[i] = tmp * (tmp + 1) % P * inv2 % P;
    }
    for (int i = 1, prep = 1, bakp = nt; i <= pnum; i++){
        while (prep <= nt && p[i] * p[i] > prep) prep++;
        while (bakp >= 1  && p[i] * p[i] > sum / bakp) bakp--;
        for (int j = 1; j <= bakp; j++){
            ll x = sum / j;
            ll  tmp1 = (x <= nt) ? pre1[x] : bak1[sum / x],
                tmp2 = (x / p[i] <= nt) ? pre1[x / p[i]] : bak1[sum / (x / p[i])],
                tmp3 = pre1[p[i] - 1];
            bak1[j] = (tmp1 - p[i] * (tmp2 - tmp3) % P + P) % P;
        }           
        for (int j = nt; j >= prep; j--){
            ll x = j;
            ll  tmp1 = (x <= nt) ? pre1[x] : bak1[sum / x],
                tmp2 = (x / p[i] <= nt) ? pre1[x / p[i]] : bak1[sum / (x / p[i])],
                tmp3 = pre1[p[i] - 1];
            pre1[j] = (tmp1 - p[i] * (tmp2 - tmp3) % P + P) % P;
        }
    }
}
ll get_s(ll n, int m){
    if (n <= 1 || n < p[m]) return 0;
    ll ans = ((n > nt) ? bak[sum / n] : pre[n]) - pre[p[m] - 1];
    for (int i = m; i <= pnum && n >= 1ll * p[i] * p[i]; i++)
        for (ll j = 1, k = p[i]; k * p[i] <= n; j++, k *= p[i])
            ans = (ans + F(p[i], j) * get_s(n / k, i + 1) + F(p[i], j + 1)) % P;
    return ans;
}
int main(){
    ll n;
    scanf("%lld", &n);
    sum = n; nt = sqrt(n);
    get_p(nt);
    get_Pow0(); get_Pow1(); 
    for (int i = 1; i <= nt; i++){
        if (i == 1) pre[i] = 0;
            else pre[i] = (pre1[i] - pre0[i] + 2 + P) % P;
        bak[i] = (bak1[i] - bak0[i] + 2 + P) % P;
    }
    p[pnum + 1] = nt + 1;
    printf("%lld\n", (get_s(n, 1) + 1) % P);
    return 0;
}