min_25筛的学习笔记

作用
min25筛可以在复杂度O($\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log (n)}$)是一种亚线性筛。求积性函数f(x)的前缀和。求和条件x属于质数，$f(x)$可以用多项式表示出来，且$f(x^c)$可以快速求出。
预备思想
对于小于n的数，要么是质数，要么这个数的最小质因子小于等于$\sqrt{n}$,将所有数分为质数与合数，利用上述原理和埃氏筛法的类似思想可以快速统计答案。
求法
*要将所有的$x=\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$的${\sum }_{i=1}^x[i是质数]f(i)$求出
首先来计算x为质数的和。定义g（n，j）为把1到n所有的i为质数或者i的最小质因子大于第j个质数的f（i）求和。
$g(n,j)={\sum }_{i=1}^n[i\in Por\min (p)>P_j]f(i)$
那么对于质数部分总和显然就是g（n，|P|），其中|P|为$\sqrt{n}$内质数集的大小。
计算g（n, j）的大小：
对于$P_j^2>n$：因为之后不存在最小质因子大于$P_j$的合数，所以可以得到g（n, j） = g(n, j - 1)
对于$P_j^2<=n$想要通过g(n, j - 1)得到g(n, j)，需要减去g(n, j - 1)多贡献的部分，实际上就是减去最小质因子为$P_j$的贡献，那么利用上积性函数的性质就是减去提取质因子$P_j$的函数后最小质因子大于等于$P_j$的和，也就相当于$f(p_j)\ast$$(g(\frac{n}{p_j},j-1)$ - ${\sum }_{i=1}^{j-1}f(P_i))$（减掉的是其中小于$P_j的质数的函数值$）
所以最后：
$g(n,j)=\{\begin{array}{ll}g(n,j-1)& P_j^2>n\\ g(n,j-1)-f(P_j)[g(\frac{n}{P_j},j-1)-{\sum }_{i=1}^{j-1}f(P_i)]& P_j^2\le n\end{array}$
结合积性函数的性质，j每增加1相当于对于筛去质数$P_j$的倍数的函数值剩余的f（x）的和。
那么对于g(n, 0)就相当于一个数没有筛去，所有数的和。将每个数带入多项式求和，这个求和一般可以化简。
处理完质数的和之后来考虑综合的求解：
我们设$S(n,j)={\sum }_{i=1}^n[\min (p)\ge P_j]f(i)$即求最小质因子大于等于$P_j$的f（i）的和。最终答案为S(n, 1) + f(1)。
看做两部分一部分质数一部分合数，质数部分的我们可以通过$g(n,j)-{\sum }_{i=1}^{j-1}f(P_i)$为质数集的大小得到。而合数部分我们可以通过枚举合数最小质因子，通过积性函数相乘获得。
$S(n,j)=g(n,|P|)-{\sum }_{i=1}^{j-1}f(P_i)+{\sum }_{k=j}^{P_k^2\le n}{\sum }_{e=1}^{P_k^{e+1}\le n}S(\frac{n}{P_k^e},k+1)\times f(P_k^e)+f(P_k^{e+1})$
枚举当中对于合数只有一个质因子的被漏掉了，因此要单独加上。
学习当中的疑惑点
为什么质数的要通过递推求得，不可以直接枚举质数求和吗？
答：例如求1e9内的质数合，如果枚举复杂度就会很高，而通过递推就可以在能接受的时间内获得。