[学习笔记] SPOJ DIVCNTK - Min_25筛

这些各种乱七八糟的筛法真难懂……
首先Min_25筛的基本思想就是在不停的枚举最小质因子。
zzt的论文根本看不懂。
过程是这样的，既然F是个低阶多项式，那么先要求：
$g_k(n)=\sum_{i=1}^n [i\ is\ a\ prime]i^k$
这个怎么算，首先将g_k(n)初始化为1～n的k次方和，然后减去不合法的部分。
即我们从小到大枚举质数p，定义g_k(n)为$\sum_{i=1}^n [i是质数或者i的最小质因子大于p]i^k$。那么随着p的增大，g会越来越小。每次会减小哪些呢？显然是那些以p做最小质因子的情况，也就是x=tp，t的最小质因子不小于p。这些x的和就是$p^k g_k(n/p)$，但是x还有可能是小于p的质数，因此答案准确的说应当是$p^k(g_k(n/p)-g_k(p-1))$。也就是要从g_k(n)减去这个东西。显然n要i从大到小枚举，并且当$p^2>n$的时候就要停止了（因为不可能减掉任何东西了）。
实现起来是这样的，维护两个数组s[x]=g_k(x)，l[x]=g_k(n/x)，这样x的范围不超过根号n，然后转移的时候去分类讨论一下即可。
（这里有个问题，对于n/x相同的x，我们都存到一起去了，他们的答案不会有差别么？不是很清楚）
然后考虑维护答案。首先记S(x,y)表示1～x中，最小质因子不小于prime[y]的数字的F的和。那么答案显然就是S(n,1)+F(1)。
考虑去计算S，答案分成两部分，第一部分是i是质数的情况，这个直接用刚刚求出的g函数做一下就可以了；后半部分考虑还是枚举i的最小质因子prime[z]>=prime[y]，那么这个$i=prime[z]^e\times t$，t的最小质因子>prime[y]（注意是大于），这样枚举z和e>=1使得$prime[z]^{e+1}\le x$，然后答案加上$S(x/(prime[z]^e))\times F(prime[z]^e)+F(prime[z]^{e+1})$（后面那个是去计算t=1的情况，由于F(prime[z])已经在之前的g函数中处理过了，所以这里就不用算了）。注意到这里至少是$prime[z]^2\le x$，因此只要枚举到根号x的质数即可。这里一个小细节是为啥没有加上$S(x/(prime[z]^{e+1}))\times F(prime[z]^{e+1})$（e取到最大），这是因为prime[z]的e+2次是超过了n的，那么prime[z]的e+1次再乘以后面某个大于prime[z]的质数也就爆炸了）。
……终于说完了。这东西复杂度为啥是对的我也不知道，反正跑的还挺快就是了。
代码是divcntk的代码。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ull unsigned long long
#define MXS 100010
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x
#define sp <<" "
#define ln <<endl
using namespace std;
int notp[MXS],pri[MXS];
ull s[MXS],l[MXS];
inline int my_sqrt(ull n)
{
    int x=(int)sqrt(n);
    while(1ull*x*x<n) x++;
    while(1ull*x*x>n) x--;
    return x;
}
inline int prelude(int n)
{
    notp[1]=1;int pc=0;
    for(int i=2;i<=n;i++) if(!notp[i])
    {
        pri[++pc]=i;
        for(int j=i;(ull)j*i<=(ull)n;j++)
            notp[i*j]=1;
    }
    return pri[++pc]=n+1;
}
inline int get_g(ull n,int sn,ull k)
{
    for(int i=1;i<=sn;i++) s[i]=i,l[i]=n/i;
    for(int p=2;p<=sn;p++)
    {
        if(notp[p]) continue;ull r=(ull)p*p,v=s[p-1];
        int ed1=sn/p,ed2=(int)min(n/r,(ull)sn);
        for(int i=1;i<=ed1;i++) l[i]-=l[i*p]-v;
        for(int i=ed1+1;i<=ed2;i++) l[i]-=s[n/i/p]-v;
        for(int i=sn;(ull)i>=r;i--) s[i]-=s[i/p]-v;
    }
    for(int i=1;i<=sn;i++) s[i]*=(k+1),l[i]*=(k+1);
    return 0;
}
inline ull F(ull n,ull x,int y,int sn,ull k)
{
    if((ull)pri[y]>x) return 0;ull res=-s[pri[y]-1];
    if(x<=(ull)sn) res+=s[x];else res+=l[n/x];
    for(int i=y;(ull)pri[i]*pri[i]<=x;i++)
    {
        ull v=pri[i];
        for(int j=1;v*pri[i]<=x;j++,v*=pri[i])
            res+=F(n,x/v,i+1,sn,k)*(j*k+1)+(j+1)*k+1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    ull n,k;int sn;scanf("%llu%llu",&n,&k);
    sn=my_sqrt(n),prelude(sn),get_g(n,sn,k);
    return !printf("%llu\n",F(n,n,1,sn,k)+1);
}