感觉好好用啊
Luogu上的杜教筛模版题一发 Min_25抢到了 rank1
前言
$ Min$_$25$筛可以筛以下一类函数的前缀和
$ f(1)=1$，$ f(p_i^{k_i}p_j^{k_j})=f(p_i^{k_i})f(p_j^{k_j})$
$ f(p_i)为一个多项式，f(p_i^{k_i})可以快速计算$
以下部分暂时忽略$ 1$，即只考虑最小质因子$ >=2$的那些数
先考虑素数贡献
我们定义$ sp(n)$表示$\sum\limits_{i=1}^n f(p_i)$即前$ n$个素数的积性函数和
这里我们先假设$ f$对于质数的计算是完全积性函数
$ P_i$表示线筛求出的第$ i$小的质数
令$ g(n,i)$表示$ \sum\limits_{j=2}^n [j的最小质因数>P_i或j是质数]f(j)$
在这里$ f(j)$表示假设$ j$是质数，以质数方式带入函数计算的结果
由于合数会被筛掉因而不会影响答案
考虑怎么计算$ g(n,i)$
类似线性筛的方式每次筛掉一批合数
如果$P_i^2>n$则有$ g(n,i)=g(n,i-1)$
因为第$ i$个质数能筛掉的最小合数是$ P_i^2$
因此筛质数只需要筛到$ \sqrt n$即可
如果$ P_i^2<=n$有$ g(n,i)=g(n,i-1)-f(P_i)*(\ g( \frac{n}{P_i},i-1)-sp_{i-1}\ )$
原理是假设$ P_i$是一个质因数，它能产生的合数贡献是$ f(P_i)*g( \frac{n}{P_i} ,i-1)$
但是由于$ P_i$不一定是最小质因数，还要加回多减的小质数即$ sp_{i-1}$
由于满足$ f$是完全积性函数，上面部分还算挺清真的
我们需要求的只是$ g(x,INF)$
注意我们发现我们需要求的$ g(x,INF)$只需要满足存在$ d$使得$ x=\frac{n}{d} $即可
可以提前整数分块这样只需要计算$ \sqrt n$数量级的$ g(x,INF)$即可
可以通过滚动数组递推的方式完成这一部分
我们令$ S(n,m)$表示$ \sum\limits_{i=2}^n[i的最小质因数>=P_m]f(i)$
显然我们要求的是$ S(n,1)$
递归求解
贡献分两步统计：
质数贡献:$ g(n,INF)-sp(m-1)$
即去掉较小的质数以外其他质数都会被计算到
合数贡献:$ \sum\limits_{k=m}^{P_k^2<=n}\sum\limits_{e=1}^{P_k^{e+1}<=n}f(P_k^e)S(\frac{n}{P_k^e},k+1)+f(P_k^{e+1})$
即枚举当前选择的最小质因数以及数量转移，同时计算只选择多于两个当前因数即不往后转移的合数情况
这样直接转移就好了
栗子：筛$ \sum\limits_{i=1}^n \phi(i)$
发现$ phi(P_i)=P_i-1$即对于质数的计算不是一个完全积性函数
这时候需要拆开计算
令$ g(P_i)=P_i$，$ h(P_i)=1$
这样分成两个完全积性函数，分别筛质数求值然后相减即可
推$ S(n,m)$的时候不会有影响
筛$ \sum\limits_{i=1}^n \mu(i)$也没有本质区别
传送门： here
$ my \ code:$
#include<ctime> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #include<queue> #define rt register unsigned #define ll long long #define M 100010 using namespace std; inline ll read(){ ll x = 0; char zf = 1; char ch = getchar(); while (ch != '-' && !isdigit(ch)) ch = getchar(); if (ch == '-') zf = -1, ch = getchar(); while (isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar(); return x * zf; } void write(ll y){if(y<0)putchar('-'),y=-y;if(y>9)write(y/10);putchar(y%10+48);} void writeln(const ll y){write(y);putchar('\n');} int i,j,k,m,n,x,y,z,cnt; ll sp[M],g[M];int h[M],ss[M];bool pri[M]; int id1[M],id2[M],q[M],t,sz; void init(){ sz=sqrt(n); for(rt i=2;i<=sz;i++){ if(!pri[i])ss[++cnt]=i,sp[cnt]=sp[cnt-1]+i; for(rt j=1;j<=cnt&&i*ss[j]<=sz;j++){ pri[i*ss[j]]=1; if(i%ss[j]==0)break; } } for(rt i=1;i<=n;){ const unsigned v=n/i;unsigned R=n/v; q[++t]=v;if(v<=sz)id1[v]=t;else id2[n/v]=t; g[t]=(ll)v*(v+1)/2-1; h[t]=v-1;i=R+1; } } inline int id(int x){return x<=sz?id1[x]:id2[n/x];} ll S(int n,int m){//phi if(n<=1||ss[m]>n)return 0; ll ret=g[id(n)]-sp[m-1]+m-1; for(rt k=m;ss[k]*ss[k]<=n&&k<=cnt;k++) for(rt v=ss[k],p1=ss[k]-1;(ll)v*ss[k]<=n;v=v*ss[k],p1=p1*ss[k]) ret+=(S(n/v,k+1)+ss[k])*p1; return ret; } int D(int n,int m){//mu if(n<=1||ss[m]>n)return 0; int ret=h[id(n)]+(m-1); for(rt k=m;ss[k]*ss[k]<=n&&k<=cnt;k++) ret-=D(n/ss[k],k+1); return ret; } int main(){ for(rt T=read();T;T--){ n=read();t=cnt=0;init(); for(rt i=1;i<=cnt;i++){ const int v=ss[i]*ss[i]; for(rt j=1;j<=t&&v<=q[j];j++){ const int k=id(q[j]/ss[i]); g[j]-=ss[i]*(g[k]-sp[i-1]); h[j]-=h[k]-i+1; } } for(rt i=1;i<=t;i++)g[i]-=h[i],h[i]=-h[i]; write(S(n,1)+1);putchar(' ');writeln(D(n,1)+1); } return 0; }