《王道》树--PART2
4 树的应用
4.1 二叉排序树
二叉排序树，又叫二叉查找树，它或者是一棵空树；或者是具有以下性质的二叉树：
1. 若它的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
2. 若它的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；
3. 它的左右子树也分别为二叉排序树。
如下图所示：
根据二叉排序树的定义，有左子树结点值<根结点值<右子树结点值，所以，对二叉排序树进行中序遍历，可以得到一个递增的有序序列。
例3 判断一棵二叉树是不是二叉排序树
//判断一棵二叉树是不是二叉排序树
//思路：二叉排序树的特点是，若左子树非空，则左子树上结点的值均小于根结点的值；
//若右子树非空，则右子树上结点的值均大于根结点的值。所以根据这一特点，可以看出
//二叉排序树的中序遍历是一个递增序列。
#include<iostream>
#include <limits.h>
using namespace std;
int prev1 = INT_MIN; //定义为最小的整数。宏定义INT_MIN在头文件limits.h中
typedef struct BiTreeNode
{
int data;
BiTreeNode* lchild;
BiTreeNode* rchild;
BiTreeNode(int x) : data(x), lchild(NULL), rchild(NULL) {}
};
int JudgeBST(BiTreeNode *root)
{
int b1, b2;
if (root == NULL)
return 1;
else
{
b1 = JudgeBST(root->lchild);
if (b1 == 0 || prev1 >= root->data)
return 0;
prev1 = root->data;
b2 = JudgeBST(root->rchild);
return b2;
}
}
//***********测试代码************
// 10
// /
// 7
// /\
// 4 8
// \
// 9
int main()
{
//生成一棵二叉树
BiTreeNode* Node1 = new BiTreeNode(10);//生成节点
BiTreeNode* Node2 = new BiTreeNode(7);
BiTreeNode* Node3 = new BiTreeNode(4);
BiTreeNode* Node4 = new BiTreeNode(8);
BiTreeNode* Node5 = new BiTreeNode(9);
Node1->lchild = Node2;//连接节点
Node2->lchild = Node3;
Node2->rchild = Node4;
Node5->rchild = Node5;
int p = JudgeBST(Node1);
cout << p << endl;
system("pause");
return 0;
}
4.2 平衡二叉树
为了避免树的高度增长过快，降低二叉排序树的性能，我们规定插入和删除二叉树结点时，要保证任意结点的左、右子树高度差的绝对值不超过1，并将这样的二叉树称为平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又被称为AVL树。定义结点左子树与右子树的高度差为该结点的平衡因子，则平衡二叉树的平衡因子的值只可能是-1,0,1。
因此，平衡二叉树可定义为它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的高度差的绝对值不超过1。例如，下图中的二叉树就是一棵平衡二叉树。
例4 判断一棵二叉树是不是平衡二叉树
有了求二叉树的深度的经验之后再解决这个问题，我们很容易就能想到一个思路：在遍历树的每个结点的时候，调用函数TreeDepth得到它的左右子树的深度。如果每个结点的左右子树的深度相差都不超过1，按照定义它就是一棵平衡的二叉树。
//=============方法1==============
/*求二叉树的深度*/
int TreeDepth(BinaryTreeNode *pRoot){
if (pRoot == NULL){
return 0;
}
int nLeft = TreeDepth(pRoot->m_pLeft);
int rRight = TreeDepth(pRoot->m_pRight);
return (nLeft > nRight) ? (nLeft + 1) : (nRight + 1);
}
//需要重复遍历结点的算法，不够好
bool IsBalanced_Solution1(BinaryTreeNode *pRoot){
if (pRoot == NULL)
return true;
int left = TreeeDepth(pRoot->m_pLeft);
int right = TreeDepth(pRoot->m_pRight);
int diff = left - right;
if (diff > 1 || diff < -1)
return false;
return IsBalanced_Solution1(pRoot->m_pLeft) && IsBalanced_Solution1(pRoot->m_pRight)
}
上面的代码固然简洁，但我们也要注意到由于一个结点会被重复遍历多次，这种思路的时间效率不高。例如在IsBalancedBinaryTree方法中输入上图中的二叉树，我们将首先判断根结点（结点1）是不是平衡的。此时我们往函数TreeDepth输入左子树的根结点（结点2）时，需要遍历结点4、5、7。接下来判断以结点2为根结点的子树是不是平衡树的时候，仍然会遍历结点4、5、7。毫无疑问，重复遍历同一个结点会影响性能。
在上面的代码中，我们用后序遍历的方式遍历整棵二叉树。在遍历某结点的左右子结点之后，我们可以根据它的左右子结点的深度判断它是不是平衡的，并得到当前结点的深度。当最后遍历到树的根结点的时候，也就判断了整棵二叉树是不是平衡二叉树。
//=========方法2==============
//后序每个结点只遍历一次，一边遍历一边记录它的深度
bool IsBalanced(BinaryTreeNode *pRoot, int *pDepth){
if (pRoot == NULL){
*pDepth = 0;
return true;
}
int left, right;
if (IsBanlanced(pRoot->m_pLeft,&left) && IsBanlanced(pRoot->m_pRight, &right)){
int diff = left - right;
if (diff <= 1 && diff >= -1){
*pDepth = 1 + (left > right ? left : right);
return true;
}
}
return false;
}
bool IsBanlanced_Solution2(BinaryTreeNode* pRoot)
{
int depth = 0;
return IsBalanced(pRoot, &depth);
}
//=========方法3==============
//下面方法也是可行的，且形式更加简洁。求出根结点的最大深度与最小深度，则最大深度与最小深度之差dis就是树中任一子树深度差最大值，所以只要dis小于等于1，此树就是平衡二叉树。
int maxDepth(TreeNode *root){
if (root == NULL)
return 0;
return 1 + max(maxDepth(root->left), maxDepth(root->right));
}
int minDepth(TreeNode *root){
if (root == NULL)
return 0;
return 1 + min(minDepth(root->left), minDepth(root->right));
}
bool isBanlanced(TreeNode *root){
return (maxDepth(root) - minDepth(root) <= 1);
}
*平衡二叉树的插入问题
*红黑树
4.3 哈夫曼树及哈夫曼编码
1.哈夫曼树的构造
对于最优二叉树，权值越大的结点越接近树的根结点，权值越小的结点越远离树的根结点。
最优二叉树的构造算法步骤：
(1)根据给定的n个权值w1,w2,...,wn构成n棵二叉树森林F={T1,T2,...,Tn}，其中每一棵二叉树Ti中都只有一个权为wi的根结点，其左、右子树为空。
(2)在森林F中选出两棵根结点权值最小的树作为一棵新二叉树的左、右子树，新二叉树的根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和。
(3)从F中删除这两棵二叉树，同时把新二叉树加入到F中。
(4)重复步骤(2)、(3),直到F中只含有一棵树为止，此树便为最优二叉树。
哈夫曼树的构造过程示意图如下：
2.哈夫曼树的编码
哈夫曼编码是一种变长编码。其定义如下：
对于给定的字符集D={d1,d2,...,dn}及其频率分布F={w1,w2,...,wn}，用d1,d2,...,dn作为叶结点，w1,w2,...,wn作为结点的权，利用哈夫曼算法构造一棵最优二叉树，将树中每个分支结点的左分支标上"0"；右分支标上"1"，把从根到每个叶子的路径符号("0"或"1")连接起来，作为该叶子的编码。
哈夫曼编码是在哈夫曼树的基础上求出来的，其基本思想是：从叶子结点di(0<=i<n)出发，向上回溯至根结点，依次求出每个字符的编码。
示例：对于字符集D={A，B，C，D}，其频率(单位：千次)分布为F={12，6，2，18}，下图给出D的哈夫曼编码图。
