BZOJ4036: [HAOI2015]按位或
https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4036
分析:
- 设\(f_{i,s}\)表示\(i\)次后数字是\(s\)的概率。
- 那么答案就是\(\sum\limits_{i=1}^{\infty}i\times (f_{i,all}-f_{i-1,all})\)。
- \(=\infty -\sum\limits_{i=1}^{\infty}f_{i,all}\)。
- 考虑逐项计算\(f\)，可以发现每次计算是一个或卷积的形式。
- 即如果设\(g_{i,S}=\sum\limits_{T\subseteq S}f_{i,S}\)，那么\(g_{i,S}=(P_S)^i\)其中\(P_S=\sum\limits_{T\subseteq S}p_s\)。
- 于是上面的式子可以用\(g\)来改写，这里就懒得写了。
- 求出\(g\)后，由于答案只需要\(all\)这一项， 这里选择用子集反演的方式直接求答案，能优化掉一个\(fwt\)。
代码:
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 1050000
typedef double f2;
int K,n,cnt[N];
f2 p[N];
void fwt(f2 *a,int len,int flg) {
int i,j,k,t;
for(k=2;k<=len;k<<=1)for(t=k>>1,i=0;i<len;i+=k)for(j=i;j<i+t;j++) {
if(flg==1) a[j+t]+=a[j]; else a[j+t]-=a[j];
}
}
int main() {
scanf("%d",&K);
n=(1<<K)-1;
int i,mk=0;
for(i=0;i<=n;i++) cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1),scanf("%lf",&p[i]),p[i]>1e-6?(mk|=i):0;
if(mk!=n) {puts("INF"); return 0;}
fwt(p,n+1,1);
f2 ans=0;
for(i=0;i<n;i++) {
if((K-cnt[i])&1) ans-=1/(1-p[i]);
else ans+=1/(1-p[i]);
}
printf("%.8f\n",-ans);
}
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define N 2100000
#define mod 998244353
ll f[22][N],g[22][N],A[N],sum[N];
int ea[550],eb[550];
int n,m,p,w[22],CNT[N];
int head[22],to[550],nxt[550],cnt,Q[22],vis[22],du[22];
inline void add(int u,int v) {
to[++cnt]=v; nxt[cnt]=head[u]; head[u]=cnt;
}
ll qp(ll x,ll y) {
ll re=1; for(;y;y>>=1,x=x*x%mod) if(y&1) re=re*x%mod;
return re;
}
bool check(int s) {
int i;
for(i=1;i<=n;i++) du[i]=head[i]=vis[i]=0; cnt=0;
for(i=1;i<=m;i++) {
if((s&(1<<(ea[i]-1))) && (s&(1<<(eb[i]-1))))
add(ea[i],eb[i]),add(eb[i],ea[i]),du[ea[i]]++,du[eb[i]]++;
}
for(i=1;i<=n;i++) if(du[i]&1) return 0;
int l=0,r=0;
for(i=1;i<=n;i++) if(s&(1<<(i-1))) {
Q[r++]=i; vis[i]=1; break;
}
while(l<r) {
int x=Q[l++];
for(i=head[x];i;i=nxt[i]) if(!vis[to[i]]) {
vis[to[i]]=1; Q[r++]=to[i];
}
}
return r==CNT[s];
}
void fort(ll *a,int len,int flg) {
int i,j,k,t;
for(k=2;k<=len;k<<=1) for(t=k>>1,i=0;i<len;i+=k) for(j=i;j<i+t;j++) {
if(flg==1) a[j+t]=(a[j+t]+a[j])%mod; else a[j+t]=(a[j+t]-a[j])%mod;
}
}
int main() {
scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
int i,j,k;
for(i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&ea[i],&eb[i]);
for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
int mask=(1<<n)-1;
for(i=1;i<=mask;i++) {
CNT[i]=CNT[i>>1]+(i&1);
ll re=0;
for(j=1;j<=n;j++) if(i&(1<<(j-1))) {
re+=w[j];
}
g[CNT[i]][i]=qp(re,p); sum[i]=qp(g[CNT[i]][i],mod-2);
if(check(i)) g[CNT[i]][i]=0;
}
for(i=1;i<=n;i++) fort(g[i],1<<n,1);
for(i=0;i<=mask;i++) f[0][i]=1;
for(i=1;i<=n;i++) {
for(j=1;j<=i;j++) {
for(k=0;k<=mask;k++) {
A[k]=(A[k]+g[j][k]*f[i-j][k]);
}
}
for(k=0;k<=mask;k++) A[k]%=mod;
fort(A,1<<n,-1);
for(k=0;k<=mask;k++) {
f[i][k]=A[k]*sum[k]%mod; A[k]=0;
}
if(i<n) fort(f[i],1<<n,1);
}
printf("%lld\n",(f[n][mask]+mod)%mod);
}