学习笔记第九节：二分图最大匹配以及相关应用

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正题

      好久没有更过算法了。

      二分图嘛，就是左边一堆独立的点，右边一堆独立的点，左右相连。

      就是一个简单的二分图。

      简单的二分图匹配可以用绿与被绿匈牙利算法来解决。

      也就是说拼命的抢走之前匹配过的点，然后使自己空出来。

      很好理解，代码如下。

bool dfs(int x,int k){
	if(vis[x]==k) return 0;
	vis[x]=k;
	for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].next){
		int y=s[i].y;
		if(last[y]==0 || dfs(last[y],k)){
			last[y]=x;
			return 1;
		}
	}
	return 0;
}

      接着我们来讲讲几个关于二分图匹配定理的证明。

1.最小覆盖点=最大匹配

      其实可以想象，如果m为最大匹配，那么至少有m个点来把他们所对应的边全部覆盖。

      而且，这个东西小于等于m，因为一条匹配的两个端点只能有一个有其他匹配的边，否则，匹配数会+1.

      所以我们只要选择一个匹配中有多边的一个点就可以了。

      肯定是m。

2.最小边覆盖=顶点数-最小点覆盖（最大匹配）

      这个很好证，我们设顶点数是n，最小点覆盖是m，那么我们的最好的方法就是让每个匹配覆盖两个点，越大越好，那么就是最大匹配，覆盖的点数是2*m,我们把剩下来的设为a，那么2*m+a=n，总共用了m+a.那么ans=m+a=(2*m+a)-m=n-m，即为顶点数-最小点覆盖。

3.最大独立集+最小点覆盖=顶点数

      因为独立集的定义就是使得点与点之间不联通，又因为匹配的两个端点只有一边是连接多条边的，所以我们先选另一边，那么不选的就只有那些在匹配里，而且连着多条边的点（就是不选最小点覆盖）。剩下的一定不联通，好好想想。

      所以整张都利用了“一个匹配只有一个端点可能有多条出边”这个定理。