从数学上证明墨菲定律

引言

昨天有别人有一个关于墨菲定律的争论，对方说墨菲定律是伪科学，我一时也没有找到相应的定理，于是我就用数学简单证明一下。

首先，我们要知道什么是墨菲定律。墨菲定律（Murphy’s Law）的基本思想是小概述事件一定会发生。国内因为中文翻译和个人理解的问题，这条定律的翻译和解释有很多，根据根据维基百科（Wikipedia），它的原文是：Whatever can happen will happen if we make trials enough.，即 任何事情如果有可能会发生，那么它就一定会发生，只要试验足够多次。后来，又被简化成：If it can happen, it will happen.，即 有可能会发生的事情一定会发生。

本来墨菲定律的意思是很清楚的，但是由于语言的问题，加之每个人的理解差异很大，在翻译成中文以后，表述的差异就很大。然后再经过人多口杂地传播，其本意已经被曲解了。以下是一些与原文出入很大的理解：

• 任何事都没有表面看起来那么简单；
• 所有的事都会比你预计的时间长；
• 如果一件事有可能被做坏，让他去做就一定会更坏。
• 你担心的事情总会发生”

这些曲解的理解，虽然意思上有相近之处，但是不推荐使用。本文讨论的墨菲定律是基于维基百科的定义，其核心思想就一条：小概率事件一定会发生，只要实验足够多次。或者反之，只要具有大于零的机率，就不能够假设它不会发生。

证明

根据维基百科的表述，我们可以使用最基本的概率学知识来证明，过程如下。

证明：设某事件 $A$ 发生的概率为 $P(A) = p，其中0<p<1$，则一次实验中 $A$ 不发生的概率为 $P(\bar{A}) = 1 - p$。在实际生活中，事件A每次发生可以看作是独立的，即与其他发生情况没有关系，所以 $n$ 次实验都不发生的概率
$P_n(\bar{A}) = {P(\bar{A}\cap \bar{A} \cap ... \cap \bar{A} )} = (1 - p)^n$

由于 $0 < (1-p) < 1$，所以当 $n \to \infty$时， $P_n(\bar{A}) \to 0$，即
$\lim_{n \to +\infty} P_n(\bar{A}) = \lim_{n \to +\infty} (1 - p)^n = 0$

所以当 $n$ 足够大时， $n$ 次实验 $A$ 不发生的概率 0。因此，事件 $A$ 一定会发生。
证毕。

举例

我们来看这样一个事件：两个人是同一天生日。这个事件在生活中肯定存在的，即一定有两个人是相同生日的，没有任何问题。但是问题是发生的几率有多大，以下的计算可能超出你的想象。

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按每年365天计算（不考虑闰年），则两个是同一天生日的概率为：由于两个人的生日分别是独立事件，当第一个人的生日是某一天是，第二个人和他同一样的机率是 $1/365=0.274\%$，那么他们不是同一样的概率是 $1-1/365 = 364/365 = 99.726\%$ ，大家可以看到同生日的概率是非常低的，和我们的直观感感知是一样的。

但是当有多个人的时候，情况就开始变化了。当有三个人第一个人生日固定，那么第二个人和他不是同一天生日，那么有364天可以选，所以概率是 $364/365$；第三个人若想不同前面两个同生日，那么还有363天可选，所以概率是 $363/365$。以此类推，当有 $n$ 个人时，概率为 $(365 - n + 1)/365$。因此， $n$ 个有相同生日生日的概率为 $1 - \frac{365}{365} * \frac{364}{365} * \frac{363}{365} *...*\frac{365 - n + 1}{365} = \frac{365!}{365^nn!}$

以下是测试1-100人的结果如下所示，可以看到57个人的时候，有两个人是同一天生日这个事件发生的概率已经达到了99%，几乎一定会发生的。如果你不相信，可以从你的通信录，或者班级，或者单位随机找57个人，你几乎一定会找到有两个人的生日是同一天。

人数     有相同生日的概率
 1       0.000000%
 2       0.273973%
 3       0.820417%
 4       1.635591%
 5       2.713557%
 6       4.046248%
 7       5.623570%
 8       7.433529%
 9       9.462383%
10      11.694818%
11      14.114138%
12      16.702479%
13      19.441028%
14      22.310251%
15      25.290132%
16      28.360401%
17      31.500767%
18      34.691142%
19      37.911853%
20      41.143838%
21      44.368834%
22      47.569531%
23      50.729723%
24      53.834426%
25      56.869970%
26      59.824082%
27      62.685928%
28      65.446147%
29      68.096854%
30      70.631624%
31      73.045463%
32      75.334753%
33      77.497185%
34      79.531686%
35      81.438324%
36      83.218211%
37      84.873401%
38      86.406782%
39      87.821966%
40      89.123181%
41      90.315161%
42      91.403047%
43      92.392286%
44      93.288537%
45      94.097590%
46      94.825284%
47      95.477440%
48      96.059797%
49      96.577961%
50      97.037358%
51      97.443199%
52      97.800451%
53      98.113811%
54      98.387696%
55      98.626229%
56      98.833235%
57      99.012246%
58      99.166498%
59      99.298945%
60      99.412266%
61      99.508880%
62      99.590957%
63      99.660439%
64      99.719048%
65      99.768311%
66      99.809570%
67      99.844004%
68      99.872639%
69      99.896367%
70      99.915958%
71      99.932075%
72      99.945288%
73      99.956081%
74      99.964864%
75      99.971988%
76      99.977744%
77      99.982378%
78      99.986095%
79      99.989067%
80      99.991433%
81      99.993311%
82      99.994795%
83      99.995965%
84      99.996882%
85      99.997600%
86      99.998159%
87      99.998593%
88      99.998928%
89      99.999186%
90      99.999385%
91      99.999537%
92      99.999652%
93      99.999740%
94      99.999806%
95      99.999856%
96      99.999893%
97      99.999922%
98      99.999942%
99      99.999958%
100     99.999969%

结论

所以，即便一个事件即使发生的概率很小，只要给予足够的实验次数，那么就一定会发生。以下情况相信大家都遇到过：

• 买东西忘了带钱
• 下雨天没收衣服
• 要用某个东西的时候找不到
• 在不用的包或旧衣服里找到钱
• 手机欠费或停机
• 有点东西总是会找不到
• 打错或被别人打错电话
• 学习或工作材料忘带
• 公开场合说错话
• 被锁在屋外面
• 下雨天没带雨具或带了雨具没下雨
• ……

所以，生活中的墨菲定律是远处不在的。实际上中国古代也有相似的说法，如“常在河边走，哪有不湿脚”也表达了类似的观点。

综上所述，墨菲定律告诉我们的道理就是不要报侥幸心理，做事要认真仔细，不要忽视小概率事件对我们的影响。对我们工作，学习，生活都有很好的指导意义。

附：所使用的代码

def f1(n):
    s = 366.
    r = 1
    for i in range(n):
        s = s - 1
        r *=  s / 365
    return 1 - r

for i in range(1, 100):
    print("{}\t{:10.6%}".format(i, f1(i)))