图论之最短路径（Bellman-Ford算法、Dijkstra算法、SPFA算法、Floyd-Warshall算法实现）

前言：

前几天考研复习了图论算法，现在抽点时间，写下博客记录下。

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最短路径的定义：

给定图G(V,E)，求一条从起点到终点的路径，使得这条路径上经过的所有边的边权之和最小。

常用的最短路算法有：Bellman-Ford算法、Dijkstra算法、SPFA算法、Floyd-Warshall算法。

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Bellman-Ford算法：

Bellman-Ford算法以松弛操作为基础，即估计的最短路径值渐渐地被更加准确的值替代，直至得到最优解。此算法在计算时每个边之间的估计距离值都比真实值大，并且被新找到路径的最小长度替代。Bellman-Ford算法 简单地对所有边进行松弛操作，共 V-1 次，其中 V 是图的点的数量。在重复地计算中，已计算得到正确的距离的边的数量不断增加，直到所有边都计算得到了正确的路径。Bellman-Ford算法适用于边权为负数的情况。

Bellman-Ford 的时间复杂度为： $O(V*E)$（V为图的顶点数、E为图的边数）。

代码如下：

//edges为无向图，边（起点、终点、权值），dist为源点s出发的最短路径值数组
void bellman_ford(int s)
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
    dist[s] = 0;
    //由于最短路不会经过同一顶点两次，所以最短路最多有n-1条边，因此有些时候可以利用这个性质检查图是否存在负圈
    for (int j = 0; j < n - 1; ++j)
    {
        for (int i = 0; i < edges.size(); ++i)
        {
            int a = edges[i][0], b = edges[i][1], w = edges[i][2];
            //更新边ab，终点b的最短路径值
            if (dist[a] != 0x3f3f3f3f && dist[b] > dist[a] + w)
            {
                dist[b] = dist[a] + w;
            }
        }
    }
}

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Dijkstra算法：

Dijkstra算法基于贪心，贪心算法中最重要的一部分就是贪心策略，在这个算法中，贪心策略就是，去寻找点i，满足min(d[i]) i∈ B，满足这个条件的点 i，必定是无法被继续松弛的点，如果说要松弛点 i，那么必定通过 A 中或者 B 中的点进行更新，若通过 B 中的点j进行更新那么松弛之后的路径为d[j] + a[j][i]。由于 d[i] 已经是最小了，因此d[j]+a[j][i]>d[i] 因此不可能是通过 B 中的点进行松弛，若通过 A 中的点 m 进行松弛，由于 m 是点集A中的点，因此点 m 一定松弛过点i，重复的松弛没有意义的。因此，我们找到的点i，现在的d[i]，一定是从源点到点 i 路径最小的点了。

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Dijkstra+heap 优化的时间复杂度为： $O((V+E)logV)$。

void dijkstra(int s)
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
    dist[s] = 0;
    //pair的first表示最短路径，second表示源点s
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> q; //小根堆
    q.push(make_pair(0, s));
    while (!q.empty())
    {
        pair<int, int> p = q.top();
        q.pop();
        int v = p.second;
        if (dist[v] < p.first)continue; //取出的最小值不是最短距离，丢弃该值
        for (const auto &edge : adjacent[v]){ //遍历顶点v的邻接点，进而更新顶点v的邻节点的最短距离
            //更新顶点v的邻接点的最短距离，并添加到q中，first为顶点v的邻接点，second为边v first的权值
            if (dist[edge.first] > dist[v] + edge.second)
            {
                dist[edge.first] = dist[v] + edge.second;
                q.push(make_pair(dist[edge.first], edge.first));
            }
        }
    }
}

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SPAF算法：

SPFA即 Bellman-ford队列优化算法，代码实现与 Dijkstra 类似，二者都是用于求单源最短路径的算法。区别在于SPFA可以检测负权环：

利用 spfa 算法判断负环有两种方法：

• 1） spfa 的 dfs 形式，判断条件是存在一点在一条路径上出现多次。
• 2） spfa 的 bfs 形式，判断条件是存在一点入队次数大于总顶点数。

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总的应用场景上：

• 如果是稠密图，Dijkstra+heap 比 SPFA 快，稀疏图则是 SPFA 比较快
• 如果求最短路径，则 SPFA+BFS 比较快，如果是负环检测，则是 SPFA+DFS 比较快。

SPFA+BFS 时间复杂度为 $O(V*E)$。

//从源点s出发建立最短路径
void SPFA(int s) {
	queue<int> q;
	bool inq[maxn] = {false};
	for(int i = 1; i <= N; i++) dis[i] = 2147483647;
	dis[s] = 0;
	q.push(s); inq[s] = true;
	while(!q.empty()) {
		int x = q.front(); q.pop();
		inq[x] = false;
		for(int i = front[x]; i !=0 ; i = e[i].next) {
			int k = e[i].v;
			if(dis[k] > dis[x] + e[i].w) {
				dis[k] = dis[x] + e[i].w;
				if(!inq[k]) {
					inq[k] = true;
					q.push(k);
				}
			}
		}
	}
}

Floyd-Warshall算法：

Floyd-Warshall算法是求任意两点之间的最短路。此算法基于的事实是：如果存在顶点 k，使得以 k 作为中介点的顶点 i、j 的当前距离是缩短，即dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j])

Floyd-Warshall算法的时间复杂度时间复杂度为 $O(n*n*n)$。

void Floyd_Warshall(vector<vector<int>>& edges)
{
    //1、建立并初始化dp数组，若(i,j)之间存在边，dp[i][j]则为边ij的权值，否则为0x3f3f3f3f
    int dp[n][n];
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    for (const auto &edge : edges)
    {
        dp[edge[0]][edge[1]] = dp[edge[1]][edge[0]] = edge[2];
    }
    //2、开始进行floyd算法求dp数组
    for (int k = 0; k < n; ++k)
    {
        for (int i = 0; i < n; ++i)
        {
            for (int j = 0; j < n; ++j)
            {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);
            }
        }
    }
}