最短路问题在程序竞赛中是经常出现的内容,解决单源最短路经问题的有bellman-ford和dijkstra两种算法,其中,dijikstra算法是对bellman的改进。同时介绍了floyd算法、SPFA算法。以这道例题开始讲解。
题目传送门:https://vjudge.net/problem/HDU-2544
最短路
在每年的校赛里,所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候,却是非常累的!所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线,你可以帮助他们吗?
Input
输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M(N<=100,M<=10000),N表示成都的大街上有几个路口,标号为1的路口是商店所在地,标号为N的路口是赛场所在地,M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行,每行包括3个整数A,B,C(1<=A,B<=N,1<=C<=1000),表示在路口A与路口B之间有一条路,我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。
输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。
Output
对于每组输入,输出一行,表示工作人员从商店走到赛场的最短时间
Sample Input
2 1
1 2 3
3 3
1 2 5
2 3 5
3 1 2
0 0
Sample Output
3
2
1.Dijkstra算法
课件见链接:https://pan.baidu.com/s/1cHHIz0(路径path课件)
例题代码:
#define N 1000 #define MAX 0x3f3f3f3f int mpa[N][N]; int dis[N]; int vis[N]; int n,; //dis存贮权值 vis是否执行过 mpa用邻接矩阵存贮 void dijkstra(int v0) { int mindis,i,j,u; //初始化dis为v0行的权值,vis为0 memset(dis,MAX,sizeof(dis)); for(i=1; i<=n; i++) { dis[i]=mpa[v0][i]; vis[i]=0; } vis[v0]=1; //标记第一个v0走过 for(i=1; i<n; i++)//一共需要执行n-1轮 { mindis=MAX; for(j=1; j<=n; j++) { if(vis[j]==0 && dis[j]<mindis) { u=j; mindis=dis[j]; } }//寻找当前没有走过dis值最小的标号 vis[u]=1;//标记u走过 for(j=1; j<=n; j++) { if(vis[j]==0 && dis[u]+mpa[u][j]<dis[j]) dis[j]=dis[u]+mpa[u][j]; }//比较当前dis[u]+mpa[u][j]是否小于s[j],取每次的最小 } } int main() { while(scanf("%d%d",&n,&m),n+m!=0) { memset(mpa,MAX,sizeof(mpa)); for(int i=1; i<=m; i++) { int x,y,z; scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); if(z<mpa[x][y]) mpa[x][y]=mpa[y][x]=z; } dijkstra(1); cout<<dis[n]<<endl; } return 0; }
2.Bellman_Ford算法
单源最短路是从一个点出发,到其他所有顶点的最短距离。起点是s,假如求s到顶点i的最短路(用数组d[i]表示s到i的最短距离,d[s]=0,d[i]=INF),会有这样一个关系式:dis[i]=min[ dis[j]]+cost(从j到i的距离),e=(j,i)∈E} ] 即等于(s到j的最短距离加上j到i的距离)中的最小的,j是与i相连的顶点。
先反着想,想要求到i的就得求到j的,同样想要求到j的短距离,就得求与j相连的点的。这样追根溯源到s上,会发现此时d[s]是确定的,s到与其相连的顶点的距离也是确定的,原来还是得正着计算啊。
从s出发,因为两个值都是可以确定的,所以第一次执行那个式子后,与s相连的点的值都会被更新,并且会确定一个与s相连的点的最短路,再继续执行那个式子,又会确定一个(每次执行都要一个循环把所有的点试一遍,因为这样才能适用以任何一个点作为起点的情况),下面是代码:
#define INF 0x3f3f3f3f struct edge{int from,to,cost;}; edge ee[max_e];//存储每条边的信息 int d[max_v];//表示s到每个顶点的最短距离 int v,e;//顶点数和边数 void bellman(int s){ memset(d,INF,sizeof(d)); d[s]=0; while(true){ bool update=false; for(int i=0;i<e;i++){ edge et=ee[i]; if(d[et.from]!=INF&&d[et.to]>d[et.from]+et.cost){ d[et.to]=d[et.from]+et.cost; update=true; } } if(!update) break;//如果不再进行更新就退出 } }
然后在挑战程序设计竞赛上,又专门写了一个函数来判断是否有负圈,下面是代码:
//如果返回TRUE则存在负圈 bool find_negative_loop(){ memset(d,0,sizeof(d)); for(int i=0;i<v;i++){ for(int j=0;j<e;j++){ edge et=ee[i]; if(d[et.to]>d[et.from]+et.cost){ d[et.to]=d[et.from]+et.cost; //如果第n次仍然更新了,则存在负圈; if(i==v-1) return true; } } } return false; }
因为如果不存在负圈,只需要循环v-1次就行了,所以在第一个代码的基础上稍微改动一下就行,只需要添加一个计数器。这是最终版代码:
//返回true计算最短路成功,返回false存在负圈; bool bellman(int s){ memset(d,INF,sizeof(d));//赋最大值的技巧 d[s]=0; int j=0;//添加的计数器 while(true){ bool update=false; for(int i=0;i<e;i++){ edge et=ee[i]; if(d[et.from]!=INF&&d[et.to]>d[et.from]+et.cost){ d[et.to]=d[et.from]+et.cost; update=true; } } j++; if(!update) return true; if(j==v) return false;//当进行第v次循环时,说明存在负圈 } }
这是针对于有向图来说的,如果是无向图,自己把from和to交换后再输入一次就好。
例题代码:
#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <queue> #define MAX 0x3f3f3f3f using namespace std; struct edge { int from,to,cost; } e[20005]; int dis[1000],n,m; int bellman(int s) { memset(dis,MAX,sizeof(dis)); dis[s]=0; int j=0; while(1) { int flag=0; for(int i=1; i<=2*m; i++) { edge ee=e[i]; if(dis[ee.from]!=MAX && dis[ee.to]>dis[ee.from]+ee.cost) { dis[ee.to]=dis[ee.from]+ee.cost; flag=1; } } j++; if(!flag) return 1; if(j==n) return 0; } } int main() { while(scanf("%d%d",&n,&m),n+m!=0) { for(int i=1; i<=m; i++) { int x,y,z; scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); e[i].from=x,e[i].to=y,e[i].cost=z; e[i+m].from=y,e[i+m].to=x,e[i+m].cost=z; } if(bellman(1)) cout<<dis[n]<<endl; } return 0; }
3.floyd算法
推荐博客:http://ahalei.blog.51cto.com/4767671/1383613
例题代码:
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> #define N 1000 #define MAX 0x3f3f3f3f using namespace std; int mpa[N][N]; int n,m; void floyd() { int i,j,k; for(k=1; k<=n; k++) for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=n; j++) if(mpa[i][j]>mpa[i][k]+mpa[k][j]) mpa[i][j]=mpa[i][k]+mpa[k][j]; } int main() { while(scanf("%d%d",&n,&m),n+m!=0) { memset(mpa,MAX,sizeof(mpa)); for(int i=1; i<=m; i++) { int x,y,z; scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); if(z<mpa[x][y]) mpa[x][y]=mpa[y][x]=z; } floyd(); cout<<mpa[1][n]<<endl; } return 0; }
4.SPFA算法
适用范围:给定的图存在负权边,这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地,而Bellman-Ford算法的复杂度又过高,SPFA算法便派上用场了。 我们约定有向加权图G不存在负权回路,即最短路径一定存在。
算法思想:我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值,用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法:设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点,优化时每次取出队首结点u,并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作,如果v点的最短路径估计值有所调整,且v点不在当前的队列中,就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作,直至队列空为止
复杂度:期望的时间复杂度O(ke), 其中k为所有顶点进队的平均次数,可以证明k一般小于等于2。
实现方法:建立一个队列,初始时队列里只有起始点,再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径(该表格的初始值要赋为极大值,该点到他本身的路径赋为0)。然后执行松弛操作,用队列里有的点作为起始点去刷新到所有点的最短路,如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。
判断有无负环:如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环(SPFA无法处理带负环的图)
首先建立起始点a到其余各点的,最短路径表格:
首先源点a入队,当队列非空时。
1、队首元素(a)出队,对以a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处有b,c,d三个点),此时路径表格状态为:
在松弛时三个点的最短路径估值变小了,而这些点队列中都没有出现,这些点
需要入队,此时,队列中新入队了三个结点b,c,d。
2、队首元素b点出队,对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有e点),此时路径表格状态为:
在最短路径表中,e的最短路径估值也变小了,e在队列中不存在,因此e也要入队,此时队列中的元素为c,d,e。
3、队首元素c点出队,对以c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处有e,f两个点),此时路径表格状态为:
在最短路径表中,e,f的最短路径估值变小了,e在队列中存在,f不存在。因此e不用入队了,f要入队,此时队列中的元素为d,e,f
4、队首元素d点出队,对以d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有g这个点),此时路径表格状态为:
在最短路径表中,g的最短路径估值没有变小(松弛不成功),没有新结点入队,队列中元素为f,g。
5、队首元素f点出队,对以f为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处有d,e,g三个点),此时路径表格状态为:
在最短路径表中,e,g的最短路径估值又变小,队列中无e点,e入队,队列中存在g这个点,g不用入队,此时队列中元素为g,e。
6、队首元素g点出队,对以g为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有b点),此时路径表格状态为:
在最短路径表中,b的最短路径估值又变小,队列中无b点,b入队,此时队列中元素为e,b。
7、队首元素e点出队,对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有g这个点),此时路径表格状态为:
在最短路径表中,g的最短路径估值没变化(松弛不成功),此时队列中元素为b。
8、队首元素b点出队,对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有e这个点),此时路径表格状态为:
在最短路径表中,e的最短路径估值没变化(松弛不成功),此时队列为空了,最终a到g的最短路径为14。
上面的过程其实可以发现,一只在重复以下过程:
队首元素出队top,以top为起始点,对所有边的终点依次进行松弛操作。在松弛时如果这些点的最短路径值变小了,而这些点队列中都没有出现,这些点需要入队。
例题代码:
#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <queue> #define MAX 0x3f3f3f3f using namespace std; int mpa[1000][1000],n,m; int dis[1000]; int vis[1000]; queue<int> que; void spfa(int s) { dis[s]=0; que.push(s); vis[s]=1; int i; while(!que.empty()) { int top=que.front(); que.pop(); vis[top]=0; for(i=0; i<=n; i++) //对所有边的终点依次进行松弛操作 { if(dis[i]>dis[top]+mpa[top][i]) // 如果这些点的最短路径值变小了 { dis[i]=dis[top]+mpa[top][i]; if(vis[i]==0) // 而这些点队列中都没有出现 { que.push(i); //入队 vis[i]=1; } } } } } int main() { while(scanf("%d%d",&n,&m),n+m!=0) { memset(mpa,MAX,sizeof(mpa)); memset(vis,0,sizeof(vis)); memset(dis,MAX,sizeof(dis)); for(int i=1; i<=m; i++) { int x,y,z; scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); mpa[x][y]=mpa[y][x]=z; } spfa(1); cout<<dis[n]<<endl; } return 0; }
这里再推荐一个博客;http://blog.csdn.net/chenzhenyu123456/article/details/46670451
这个博客将记录路径加入到各个算法当中了,这也是一个很重要的应用。