机器学习中的距离/散度/熵

一、信息量

1. 定义：用一个信息的编码长度。
2. 性质：编码长度与出现的概率成负相关。（如：哈夫曼编码）
3. 公式（0/1编码）
   $I=\log_2(\frac{1}{p(x)})=-\log_2(p(x))$

二、信息熵

1. 定义：一个分布的信息量。（编码的平均长度/信息量的均值）
2. 公式
   $H(p)=\sum_x{p(x)log_2(\frac{1}{p(x)})}=-\sum_x{p(x)\log_2(p(x))}$

三、交叉熵 cross-entropy

1. 定义：用猜测的分布 $(p)$的编码方式 编码 真实的分布 $(q)$，得到的平均编码长度/信息量均值。
   $\color{red}{因为参考的博客公式推导有冲突，有人认为p为真实分布，我暂且认为q为真实分布。}$
2. 公式
   $H_p(q)=\sum_x{q(x)\log_2(\frac{1}{p(x)})}$
3. 意义：不同分布之间的距离度量。
4. 应用：最后的损失函数。（交叉熵 本质上相当于衡量两个编码方式之间的差值，只有当猜测的分布约接近于真实分布，其值越小）
   具体说明，详见 信息量，信息熵，交叉熵，KL散度和互信息（信息增益）， $\color{red}{没太懂，以后遇到再细看}$。

四、KL散度（相对熵）

1. 别名：KL距离、相对熵。（ $D(q||p)、D_q(p):q对p的相对熵$）
2. 公式（相对熵=交叉熵-信息熵）
   $D_q(p)=H_q(p)-H(p)=\sum_x{p(x)\log_2(\frac{p(x)}{q(x)})}$
3. 意义：同一随机事件+不同分布 间的距离度量。
4. 图示
   
5. 性质（非负性）： $D_q(p)\geq0$。

四、联合信息熵和条件信息熵

1. 公式
   a. 联合信息熵
   $H(X,Y)=\sum_{x,y}p(x,y)\log_2(\frac{1}{p(x,y)})$
   b. 条件信息熵
   $H(Y|X)=H(X,Y)-H(X)$
   $=\sum_xp(x)\sum_yp(y|x)\log_2(\frac{1}{p(y|x)})$
   $=\sum_{x,y}p(x,y)\log_2(\frac{1}{p(y|x)})$

2. 意义：联合分布是 同一个分布中 两变量相互影响的关系。

3. 图示
   

五、互信息（信息增益）

1. 定义：一个联合分布中 两个信息的纠缠程度/相互影响那部分的信息量
2. 公式
   $I(X,Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)$
   $=H(Y)-H(Y|X)$
3. 性质（非负性）： $I(X,Y)\geq0$。
4. 图示
   
5. 应用：决策树。

六、variation of information

1. 定义：联合分布（即同一个分布）两个变量相互影响的关系 。
2. 公式
   $V(X,Y)=H(X,Y)-I(X,Y)$
3. 意义：度量 不同随机变量间的差别。
   $V(X,Y)=0$：说明这两个变量完全一致。
   $V(X,Y)$值越大 说明两个变量越独立。

参考：

信息量，信息熵，交叉熵，KL散度和互信息（信息增益）
KL散度、JS散度、Wasserstein距离
一文搞懂散度(KL，MMD距离、Wasserstein距离)