这里先暂时介绍两个一会儿就需要用到的：1. 线性 2. 时不变
【1】关于系统的线性性质，很简单，就理解为系统满足叠加定理：比如对系统输入 $x[n]$ ，系统就输出 $h[n]$ 。那么如果对系统输入： $a_1x_1[n] + a_2x_2[n] + \cdots$ ，那么系统也会相应地输出： $a_1h_1[n] + a_2h_2[n] + \cdots$

【2】时不变性：假设在 $t$ 时刻给系统输入了一个 $δ(t)$ ，系统响应 $h(t)$ ；那么如果这个输入有一个 $t_0$ 的时移，那么对应地，系统的输出也会有一个 $t_0$ 的时移： $h(t - t0)$

二、卷积的前世

2.1 离散时间信号的分解表示

我们先来看看一个离散的时间信号：

既然是离散的，那么我们就可以把这个信号 $x[n]$ 看成是由若干在不同时间 n，幅度不同的冲激组成的冲激串，分解如下图所示：

上图仅仅展示了在 $n=-2, -1, 0, 1$ 时刻的分解。而我们由预备知识可以知道：如果想表示一个位置在 $n=-2$ 处的单位冲激函数，很简单，就是： $δ(n+2)$ ；想表示在 $n=1$ 处的单位冲激响应，那么就是： $δ(n-1)$

可是，这些不同位置的单位冲激响应的幅度怎么表示呢？因为在 $x[n]$ 内，那些冲激的幅度各异，我们知道，在 $n=1$ 处的幅度是 $x[1]$ ；在 $n=-2$ 处的幅度是 $x[-2]$ 、、、

那么，在位置 $n=1$ 处的冲激信号我们就可以写成： $x[1] = x[1]δ(n-1)$
在位置 $n=2$ 处的冲激信号我们可以写成： $x[2] = x[2]δ(n-2)$
在位置 $n=-1$ 处的冲激信号我们可以写成： $x[-1] = x[-1]δ(n+1)$

如下图所示：

因此，我们得到离散时间信号的分解表示： $x[n] = \sum_{k=-∞}^{+∞}x[k]δ[n-k]$

对上式的理解：在上面的表达中，单位冲激函数其实是用来表达某一时刻冲激的位置的，比如说 $δ[n-1]$ 表示 n = 1 的位置，而冲激的具体幅度值则由 $x[k]$ 来表示

2.2 离散时间信号的卷积

在看这一节之前，请确保已经了解过【预备知识】中关于线性系统的特点。

我们定义：单位冲激响应 $h$ 是将单位冲激序列输入进系统 $system$ 之后的输出

也就是说向系统输入一个 $δ[n]$ ，则系统的输出就是 $h[n]$ 。那么如果对应的 $system$ 是一个线性系统，那么输入的是单位冲激函数的加权和，输出也是单位冲激响应 $h$ 的加权和

因此，我们重新回顾上面推导出来的式子： $x[n] = \sum_{k=-∞}^{+∞}x[k]δ[n-k]$
我们惊喜地发现： $x[k]$ 仅仅是系数，或者说是不同位置的单位冲激函数的权值! 那么，也就是说，离散时间信号可以表示成单位冲激函数的加权和！

因此，离散时间信号输入系统，得到的输出就可以表示为： $y[n] = \sum_{k=-∞}^{+∞}x[k]h_k[n]\tag{2.2.1}$

其中， $δ[n-k]$ 对应的单位冲激响应是： $h_k[n]$ 。而别忘了，我们现在讨论的系统还是时不变的！因此，我们有： $h_k[n] = h_0[n-k]$ 。一般我们约定： $h_0[n-k] = h[n-k]$

最终，离散的时间信号通过系统得到的输出为： $y[n] = \sum_{k=-∞}^{+∞}x[k]h[n-k]\tag{2.2.2}$
我们说，式（2.2.2）就是信号 $x[n]$ 和 $h[n]$ 的卷积，用符号 $*$ 表示： $y[n] = x[n] * h[n]$

2.2 连续时间信号的分解表示

还记得微积分的思想吗？对于一个连续时间的信号（也就是模拟信号），我们常常可以用若干个宽度为 $△$ 的小矩形来逼近，当 $△$ 越小的时候，逼近的效果越好。那么，如下图所示，我们就可以把一个连续时间信号拆分成若干个宽度为 $△$ 的小矩形的叠加：（下图只画了其中一些部分）

是不是和离散时间信号特别类似，只不过我们用矩形代替了线状冲激。

如何表示每一个小矩形的位置呢？—— 类似地，回顾【预备知识】中关于 $δ_{△}(t)$ 的介绍，我们用带时移的连续时间信号的单位冲激函数 $δ_{△}(t)$ 来表示。

我们用区间的左端电代表该矩形所表示的信号 $x(t)$ 的值，我们看图（b）是区间 $[-2△, -△]$ ，那么该矩形所表示的 $x(t)$ 的值就是： $x(-2△)$ ；图（d）是区间 $[0, △]$ ，因此该矩形所表示的就是 $x(0)$ 。

同样，**区间的左端点也代表了这个矩形所处的位置。**图（b）是区间 $[-2△, -△]$ ，那么该矩形的位置就是在 $-2△$ ，用连续时间的单位冲激函数可以表示： $δ_{△}(t + 2△)$

综上，我们知道了单位矩形脉冲的位置的幅值，因此，我们可以分别表示小矩形的面积：
图（b）： $x(-2△)δ_{△}(t + 2△)△$
图（c）： $x(△)δ_{△}(t + △)△$
图（d）： $x(0)δ_{△}(t )△$
$\cdots$

如下图所示：

因此，连续时间信号 $x(t)$ 可以表示为： $\begin{aligned} x(t) &= \cdots + x(-2△)δ_{△}(t + 2△)△ + x(△)δ_{△}(t + △)△ + x(0)δ_{△}(t )△ + \cdots\\ &=\sum_{k=-∞}^{+∞}x(k△)δ_△(t - k△)△\\ &=\lim_{△\to0}\sum_{k=-∞}^{+∞}x(k△)δ_△(t - k△)△\\ &=\int_{-∞}^{+∞}x(τ)δ_△(t-τ)dτ \end{aligned}$

2.3 连续时间信号的卷积

至此，连续时间信号我们就可以用单位冲激信号的加权叠加表示了： $x(t) = \int_{-∞}^{+∞}x(τ)δ_△(t-τ)dτ$

那么类似地，经过单位脉冲响应得到的输出信号就是： $y(t)$ $y(t) = \int_{-∞}^{+∞}x(τ)h(t-τ)dτ$

$y(t)$ 是 $x(t)$ 和 $h(t)$ 卷积的结果，用： $y(t) = x(t)*h(t)$ 来表示。

我们从输出 $y(t)$ 的角度看看： $y(t)$ 其实也是一些类不同位置输入得到的响应 $h(t-k△)$ 的叠加：

三、卷积的今生

3.1 离散时间信号卷积的计算过程

还记得离散时间信号卷积的计算公式吗？ $y[n] = \sum_{k=-∞}^{+∞}x[k]h[n-k]$
为了具体化，我们令： $x[n] = α^nu[n]$ ； $h[n] = u[n]$
也即是说，输入信号 $x[n]$ 是一个指数衰减乘以单位阶跃，系统衰减 $h[n]$ 是离散时间的单位阶跃信号。如下图所示：

不过我们要知道，计算卷积 $y[n]$ ，我们要的是 $x[k]$ 而不是 $x[n]$ ；要 $h[n-k]$ 而不是 $h[n]$ .

$x[k]$ 好办，我们直接把原来横坐标的 n 换成 k 即可，其中一直都有： $n = k$ !

而要想找到 $h[n-k]$ ，首先我们先考虑 $h[-k]$ 是什么？ $h[-k]$ 的获得，首先我们也是把原来 $h[n]$ 的横坐标由 n 改成 k，然后再以纵轴为对称轴反转，得到 $h[-k]$ 。

至于 $h[n-k]$ ，我们可以这样理解：把 $h[n-k]$ 看成一种滑动。什么意思呢？比如说我们要求在 $n_0$ 时刻系统的输出，那么我们就把 $h[-k]$ 的原点移动到和 $x[k]$ 图像中和 $k = n_0$ 对齐的位置。

那么，试想一下：如果一个系统在某一段离散时间（ $n_{-2}, n_{-1},n_0,n_1,n_2,n_3$ ）都有输入，那么系统的整个输出就是系统在这几个时间点响应的叠加对吧。为了计算这些分响应，我们就分别把 $h[-k]$ 图像的原点开始滑动，分别与 $x[k]$ 中 $k = n_{-2}, n_{-1},n_0,n_1,n_2,n_3$ 的坐标对齐计算。

下图为例展示了上述过程：

当有若干个 n 值的时候，系统的输出 $y[n]$ 所形成的曲线长下面这样：

3.1.1 离散时间信号卷积数学推导

根据上面这个例子，我们现在是直观地了解了卷积的计算过程，那么这个例子中，最后输出的 $y[n]$ 的表达式是什么呢？我们一起来推导一下：

首先，大家应该已经清楚 $h[n-k]$ 的意义了，它就是把 $h[-k]$ 原本的零点和 $x[k]$ 上某一时刻 $k = n_0$ 对齐。而卷积是要计算 $x[k]$ 与 $h[n-k]$ 重叠部分的乘积和。因此，得关注它们重叠部分。

首先，由于 $x[n] = α^nu[n]$ ； $h[n] = u[n]$ 。因此， $x[k] = α^{k}u[k]$ ； $h[n-k] = u[n-k]$
那么，我们有： $y[n] = \sum_{k=-∞}^{+∞}α^{k}u[k]u[n-k]$
根据上面 $x[k]$ 和 $h[n-k]$ 得图像，我们感觉可以把 n 划分成两个区间： $n<0$ 和 $n > 0$ 。

【1】当 $n < 0$ 时，很明显 $x[k]$ 与 $h[n-k]$ 没有重叠部分， $y[n] = 0$
【2】当 $n> 0$ 时， $x[k]$ 与 $h[n-k]$ 有重叠部分，如下图所示：

那么，此时 $y[n]$ 序列表示可以改写成： $y[n] = \sum_{k=0}^{n}α^k$
因为重叠部分总有： $u[k]u[n-k]=1$
因此，在 $n>0$ 的情况下，有： $y[n] = \sum_{k=0}^{n}α^k = \frac{1-α^{n+1}}{1-α}$
综上，我们得出： $y[n] = \begin{cases} 0& (n<0)\\ \frac{1-α^{n+1}}{1-α} &(n≥0)\\ \end{cases}$

3.2 连续时间信号卷积的计算过程

回顾一下连续时间信号的卷积公式： $y(t) = \int_{-∞}^{+∞}x(τ)h(t-τ)dτ$
现在，我们假设 $x(t) = e^{-at}u(t)$ ； $h(t) = u(t)$

具体的滑动过程这里就不再赘述了，也是和离散时间信号一样的。

3.2.1 连续时间信号卷积数学推导

一样地分成两个区间：
【1】 $t < 0$ 时： $h(t-τ)$ 和 $x(τ)$ 没有重叠的地方，因此 $y(t) = 0$
【2】 $t >0$ 时， $h(t-τ)$ 和 $x(τ)$ 有重叠的地方， $u(τ)u(t-τ)=1$ ，因此，我们可以把 $y(t)$ 写成： $y(t) = \int_{0}^{t}e^{-aτ}dτ$